Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида . Чтобы привести это уравнение к уравнению с разделёнными переменными, достаточно разделить его на произведение : . Тогда получим уравнение , которое легко интегрируется: . Надо помнить, что деление уравнения на функцию может привести к потере частных решений, которые получаются из уравнения . Определяя из этого уравнения решение , следует проверить, является ли оно решением исходного уравнения. Если не является, то его нужно отбросить, а если является, то проверить, входит ли оно в общее решение, т.е. будет ли оно частным решением. Если решение не является частным решением, его называют особым. ПРИМЕР. Найти общее решение уравнения . РЕШЕНИЕ Представим производную как , тогда уравнение можно записать в дифференциальном виде . Чтобы разделить переменные, умножим обе части уравнения на . Получим равенство, которое проинтегрируем: , , . Это и есть общее решение уравнения. ПРИМЕР. Найти решение уравнения . РЕШЕНИЕ Запишем уравнение в виде: . Теперь заменим на : . Если умножить уравнение на и разделить на , то получим уравнение с разделёнными переменными: . Найдем интегралы от обеих частей равенства: или . Это общий интеграл (решение) дифференциального уравнения. Полученную функцию можно упростить и привести к виду . Проверим, является ли частным решением уравнения функция . Подставим и в исходное уравнение: , получим тождество. Следовательно, функция является решением уравнения. Если общее решение уравнения записать в виде , то функция получится из него, когда , т.е. она является частным решением. ПРИМЕР. Найти общий интеграл уравнения (общее решение) и частное решение, удовлетворяющее начальным условиям: . РЕШЕНИЕ Это уравнение относится к уравнениям с разделяющимися переменными. Разделим переменные, для чего обе части уравнения поделим на : . Получим уравнение: . Проинтегрируем его: , , . Константу для дальнейшего упрощения функций удобно взять в форме . Таким образом, общий интеграл запишется в виде . В этом уравнении при делении на функцию может быть потеряно решение . Но это решение получается из общего решения, если , т.е. является частным решением. Найдем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям . Подставим начальные условия в общий интеграл и найдем значение константы : , откуда . Тогда частное решение запишется в виде: .
ПРИМЕР. Найти общий интеграл (общее решение) уравнения РЕШЕНИЕ Убедимся, что это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Для этого вынесем за скобки общие множители . Теперь разделим обе части уравнения на , и после сокращения получим Переменные разделены, можно интегрировать: Найдем каждый интеграл отдельно: , Общий интеграл (решение) уравнения примет вид: Это выражение можно преобразовать, воспользовавшись свойством логарифмов, тогда получим .
|