Интегрирование иррациональных функций

Задача состоит в том, чтобы с помощью подстановки свести интеграл от иррациональной функции к интегралу от рациональной функции.

Рассмотрим некоторые из видов иррациональных функций.

1. , где – рациональная функция своих аргументов; дробные показатели.

Чтобы перейти к интегрированию рациональной функции, введем подстановку , где – НОК (наименьшее общее кратное) знаменателей дробей .

ПРИМЕР. Найти .

РЕШЕНИЕ

В данной функции дробные показатели степени . Их знаменатели 2 и 3, НОК(2, 3)=6, следовательно, можно сделать подстановку . Тогда

.

2. , где - рациональная функция своих аргументов, n – натуральное число.

В этом случае вводится подстановка . Таким образом, переходим к интегрированию дробно-рациональной функции.

ПРИМЕР. Найти .

РЕШЕНИЕ

Сделаем подстановку , тогда , а .

Получим

.