Принцип электромагнитной инерции

Магнитный поток F сквозь поверхность s, ограниченную контуром, например

контуром проводящей цепи, равен поверхностному интегралу вектора магнит-

ной индукции, распространенному по поверхности s: Это выражение

справедливо для любой поверхности, ограниченной сколь угодно сложным кон-

туром. В общем случае такая поверхность может иметь весьма сложную форму.

Так, на рис. 1.31 штриховкой показана поверхность, «натянутая» на контур, рас-

положенный по винтовой линии и образующий катушку из трех витков. Отдель-

ные линии магнитной индукции пронизывают эту поверхность несколько раз:

линии 4, 5, 6, 7 и 8—три раза, линия 3—два раза.

Целесообразно в таких сложных случаях ввести понятие о потокосцеп-

лении Y. Термин «потокосцепление» необходимо ввести в связи с тем, что от-

дельные линии магнитной индукции несколько раз

сцепляются со всем контуром. Значение Y можно

получить, умножая поток каждой единичной ли-

нии магнитной индукции на число витков цепи,

с которыми она сцепляется, и складывая получен-

ные результаты. Сложение следует производить ал-

гебраически, причем положительными следует счи-

тать линии магнитной индукции, направление ко-

торых связано с положительным направлением то-

ка в контуре электрической цепи правилом право-

го винта.

Ясно, что ЭДС, индуцируемая во всей цепи, определяется потокосцеплени-

ем Y. Действительно, при уменьшении потока до нуля каждая линия магнитной

индукции столько раз пересечет контур тока, сколько раз она с ним сцепляется.

Поэтому должно быть равенство

Таким упрощенным расчетом обычно можно пользоваться при вычислении

ЭДС, индуцируемых в катушках с замкнутыми сердечниками из ферромагнит-

ных материалов.

В простейшем случае для одного контура с электрическим током магнитный

поток, сцепляющийся с этим контуром, определяется током i, протекающим

в этом же контуре. Такой поток называют потоком самоиндукции.Пото-

косцепление самоиндукции некоторого электрического контура или,

что то же, некоторой неразветвленной электрической цепи, обозначают YL. Мож-

но представить его в виде

Величину L называют собственной индуктивностью или просто

индуктивностью контура. Индуктивность зависит от геометрических вели-

чин g, определяющих размеры и форму контура, а также от абсолютной магнит-

ной проницаемости m среды, в которой существует магнитное поле: L = F(g, m).

Для однородной среды с m=const имеем L =mf(g).

При изменении потока самоиндукции в контуре возникает электродви-

жущая сила самоиндукции.Изменение потока YL может происходить

как вследствие изменения тока, так и вследствие изменения индуктивности. По-

этому в общем случае ЭДС самоиндукции eL может быть представлена в виде

суммы двух членов:

При L = const

Для двух или нескольких контуров с токами магнит-

ный поток, сцепляющийся с одним из этих контуров, оп-

ределяется токами во всех контурах. Рассмотрим два кон-

тура и предположим, что ток протекает только в первом из

них (рис. 1.32). Может оказаться, что часть линий маг-

нитной индукции потока самоиндукции первого контура

сцепляется также и со вторым контуром. При этом поток,

сцепляющийся со вторым контуром и определяемый то-

ком в первом контуре, называют потоком взаимной

индукции. Потокосцепление взаимной ин-

дукции совторым контуром будем обозначать Y2M или

Y21. Первый индекс всегда будет указывать, с какой це-

пью рассматривается сцепление потока. Второй индекс

(M или 1) указывает, что поток определяется током, протекающим в другой,

в данном случае в первой, цепи. Можно написать

Величину M21 называют взаимной индуктивностью контуров. Она

зависит от геометрических величин g, определяющих размеры и формы конту-

ров и их взаимное расположение, а также от абсолютной магнитной проницае-

мости m среды: M = f(g, m). Если m=const, то M =mf(g).

Единицей индуктивности и взаимной индуктивности является генри (Гн).

При изменении потока взаимной индукции, сцепляющегося со вторым кон-

туром, в этом контуре возникает электродвижущая сила взаимной

индукции.Поток Y2M может изменяться либо вследствие изменения тока i1,

либо вследствие изменения взаимной индуктивности M21. Соответственно, ЭДС

взаимной индукции, возникающая во втором контуре, может быть представлена

в виде

Если M21 = const, то

Остановимся еще на общем характере индуцированных ЭДС. Знак «минус»

в выражении для индуцированной ЭДС свидетельствует о том, что эта ЭДС стре-

мится вызвать токи, направленные таким образом, чтобы воспрепятствовать

изменению магнитного потока. Это положение выражает сформулированный

Ленцем принцип электромагнитной инерции.Всамом деле, пред-

положим, что поток, сцепляющийся с контуром, убывает, т. е. dY < 0. В таком

случае e = – dY/dt > 0, и следовательно, возникающая в контуре ЭДС стремится

вызвать ток в положительном направлении и тем самым воспрепятствовать убы-

ванию потока. Наоборот, если поток возрастает, то dY > 0иe < 0. В этом случае

ЭДС в контуре стремится вызвать ток в отрицательном направлении и этим вос-

препятствовать увеличению потока. Мы видим, что индуцированные ЭДС име-

ют характер сил инерции.

На основании сказанного можно сформулировать принцип электромагнитной

инерции в отношении электромагнитных процессов, совершающихся в системе

контуров с электрическими токами, а именно: в системе контуров с электриче-

скими токами существует тенденция к сохранению неизменными магнитных по-

токов, сцепляющихся с отдельными контурами системы. При всякой попытке

изменить потоки, сцепляющиеся с контурами, в контурах возникают электро-

движущие силы, стремящиеся воспрепятствовать этому изменению. В простей-

шем случае для одного контура с током возникает ЭДС самоиндукции, равная

В простейшем случае, который рассматривается в динамике, а именно, при

движении свободной материальной точки, принцип инерции заключается в том,

что свободной материальной точке свойственно сохранять свое количество дви-

жения. Если под действием внешних сил изменяется количество движения точ-

ки, то, вводя в рассмотрение силы инерции, равные и противоположные внеш-

ним силам, можно рассматривать эти силы инерции как препятствующие

изменению количества движения. Если направление силы совпадает с направле-

нием скорости v, то сила инерции имеет выражение

где m—масса материальной точки.

Мы видим, что магнитный поток можно рассматривать как количество дви-

жения в электромагнитном процессе, индуктивность контура — как коэффици-

ент электромагнитной инерции, ток — как электрическую скорость. Электриче-

ской координатой системы при этом является электрический заряд q, перенесен-

ный через поперечное сечение контура от некоторого начального момента вре-

мени, так как i = dq/dt.

Силы инерции наиболее полно проявляются в системе, не имеющей трения.

Соответственно, и электромагнитная инерция выявляется наиболее полно в кон-

турах, электрическое сопротивление которых равно нулю. Такую сверхпроводя-

щую цепь можно осуществить на опыте. Явление сверхпроводимости заключа-

ется в том, что некоторые металлы, например свинец, олово, ртуть, и сплавы —

ниобий—титан, ниобий—олово при весьма низких температурах (порядка не-

скольких Кельвинов) имеют удельное сопротивление, практически равное

нулю.

Положим, что кольцо из одного из перечисленных материалов внесено во

внешнее магнитное поле (рис. 1.33) и заморожено, т. е. сделано сверхпроводя-

щим. Пусть при этом с кольцом сцепляется внешний поток YM =Y0 (линии 1– 6).

Будем теперь выносить кольцо из внешнего поля. В кольце возникает внешняя

ЭДС eM = – dYM/dt, под действием которой в контуре кольца появляется ток i и

образуется поток самоиндукции YL. Сумма внешней ЭДС и ЭДС самоиндукции

должна быть равна падению напряжения ir в контуре. Так как r = 0, то получаем

откуда следует, что

В начальном положении контура YM =Y0 и YL = 0 (рис. 1.33, а). Следова-

тельно, YM + YL =Y0. Когда контур будет вынесен за пределы внешнего поля

(рис. 1.33, б), будем иметь YM = 0иYL = Li =Y0.

Мы видим, что при r = 0 электромагнитная инерция проявляется в полной

мере — результирующее потокосцепление остается постоянным и лишь совер-

шается преобразование внешнего потока в поток самоиндукции.