Разность электрических потенциалов. Электродвижущая сила

Электрическое напряжение.

Разность электрических потенциалов. Электродвижущая сила

Перейдем к рассмотрению весьма важных величин, связанных с электрическим

полем, а именно: электрического напряжения, разности

электрических потенциалов и электродвижущей силы.

Если частица с зарядом q переносится в электриче-

ском поле вдоль некоторого пути, то действующие на нее

силы поля совершают работу. Отношение этой работы

к переносимому заряду представляет собой физическую

величину, называемую электрическим напряже-

нием.Приперемещении частицы по пути dl (рис. 1.20)

силы поля совершают работу

Через dl обозначен вектор, равный по величине элементу пути dl и направ-

ленный по касательной T к пути в сторону перемещения заряженной частицы.

Угол a есть угол между векторами E и dl.

Работа, совершаемая силами поля при перемещении частицы вдоль всего пути

от точки A до точки B (рис. 1.20), равна

Она пропорциональна линейному интегралу напряженности поля вдоль

заданного пути. Этот линейный интеграл равен электрическому напряжению вдоль

заданного пути от A к B. Принято обозначать напряжение буквой u. Таким образом,

Следовательно,

В общем случае рассматриваемый путь может проходить в любой среде, в ча-

стности он может быть взят целиком в проводнике, целиком в диэлектрике или

может проходить частично в проводнике и частично в диэлектрике.

В соответствии с изложенным электрическое напряжение представляет собой

физическую величину, характеризующую электрическое поле вдоль рассматриваемо-

го пути и равную линейному интегралу напряженности электрического поля вдоль

этого пути.

Нередко, говоря о напряжении вдоль некоторого участка пути, употребляют

термин падение напряжения вдоль этого участка. Соответственно линей-

ный интеграл напряженности электрического поля вдоль некоторого замкнуто-

го контура представляет собой сумму падений напряжений вдоль всех уча-

стков этого контура.

Единицей напряжения является вольт (В).

Из сказанного вытекает, что значение напряженности электрического поля

равно падению напряжения, отнесенного к единице длины линии напряженности

поля. В самом деле, падение напряжения на пути dl равно du = E dl, если путь dl

совпадает с линией напряженности поля, и, следовательно, E = du/dl. Поэтому

единицей напряженности электрического поля является вольт на метр (1 В/м).

Как было отмечено в § 1.6, в проводящей среде напряженность электрического

поля E связана с плотностью тока J соотношением E =rJ, где r — удельное сопро-

тивление среды. В простейшем случае для прямолинейного отрезка проводника с

постоянным током i, длиной l и сечением s падение напряжения в нем u = El, а ток

i = Js. Таким образом, u =rJl =rli/s = ri. Величина r = u/i является электрическим

сопротивлением рассматриваемого отрезка проводника. Электрическое сопротив-

ление измеряется в омах (Ом).

Соотношение u = ri представляет собой закон Ома для

этого участка проводника. Мощность, определяющая коли-

чество энергии, выделяемой в проводнике в виде теплоты в

единицу времени, имеет выражение p = A/t = uq/t = ui = ri2.

Это соотношение выражает закон Джоуля–Ленца. Единицей

мощности является ватт (Вт).

Рассмотрим теперь величины, именуемые электриче-

ским потенциалом и разностью электриче-

ских потенциалов.

Пусть имеется электростатическое поле, т.е.поле покоящихся заря-

женных тел (рис. 1.21). В электростатическом поле линейный интеграл напря-

женности поля по любому замкнутому контуру равен нулю Это важ-

ное свойство электростатического поля вытекает из принципа сохранения энер-

гии. Предположим, что по замкнутому пути AmBnA (рис. 1.21) перемещается

точечное тело с зарядом q. На части замкнутого пути движение будет происхо-

дить в направлении сил поля и работа, совершенная силами поля, будет положи-

тельной. На другой части замкнутого пути движение будет происходить против сил

поля и, соответственно, работа сил поля будет отрицательной. Работа, совершен-

ная силами поля на перемещение тела с зарядом q по всему замкнутому пути,

должна быть равна нулю:

Действительно, при отсутствии этого условия всегда можно было бы выбрать

такое направление обхода контура AmBnA, чтобы работа оказалась положитель-

ной. Однако после обхода по замкнутому пути система, включая и тело с заря-

дом q, возвращается в точности в исходное состояние, а это значит, что можно

было бы повторять обход контура телом с зарядом q любое число раз и получать

при каждом обходе конечную положительную работу. Возможность существова-

ния подобного неисчерпаемого источника энергии противоречит принципу со-

хранения энергии. Таким образом, в электростатическом поле линейный инте-

грал напряженности поля по любому замкнутому контуру должен быть равен

нулю. Отсюда непосредственно вытекает независимость линейного интеграла

напряженности поля от выбора пути интегрирования при заданных начальной и

конечной точках А и В пути. Действительно,

откуда а так как пути m и n взяты произвольно, то, следовательно, интеграл в электростатическом поле не зависит от выбора пути интегрирования и являет-

ся только функцией координат точек A и B.

Величину, равную этому интегралу, называют разностью электрических по-

тенциалов точек АиВи обозначают UA –UB. Имеем

С другой стороны, этот интеграл равен напряжению вдоль некоторого пути

от точки A к точке B. Следовательно, в применении к электростатическому полю

термины «напряжение» и «разность потенциалов» относятся к одной и той же

величине.

В дальнейшем разность потенциалов будем обозначать буквой u, как и напря-

жение, в соответствии с чем будем применять обозначение UA —UB = uAB.

Из сказанного выше ясно, что разность электрических потенциалов двух то-

чек электростатического поля численно равна работе сил поля при перемещении

точечного заряженного тела с положительным зарядом, равным единице, из од-

ной данной точки в другую.

Изберем в качестве конечной точки заданную в пространстве точку P. Тогда

значение интеграла явится функцией только координат x, y, z точки A.

Обозначая эту функцию через UA или U (x, y, z), можем написать

Величина U называется электрическим потенциалом рассмат-

риваемой точки поля. Потенциал заданной точки P равен нулю, так как

Электрический потенциал, характеризующий данное поле, может быть опре-

делен лишь с точностью до произвольной постоянной, зависящей от произволь-

ного выбора точки P, в которой потенциал принимается равным нулю. Электри-

ческое поле, которое может быть в каждой точке охарактеризовано с точностью до

произвольной постоянной скалярной величины, именуемой электрическим по-

тенциалом, носит название потенциального электрического поля.

Таковыми, в частности, являются электростатическое поле, а также электриче-

ское поле постоянных токов, протекающих по неподвижным проводникам, при

условии, что поле рассматривается вне области действия источников электро-

движущих сил. Действительно, распределение зарядов на проводниках при этом

остается, как и в электростатике, неизменным во времени. Электрическое поле

около неподвижных проводников с постоянными токами и внутри этих провод-

ников будем называть стационарным электрическим полем (Eстац).

Оговорка о необходимости ограничения областью вне источников ЭДС для

того, чтобы поле было потенциальным, будет рассмотрена в конце этого пара-

графа.

В реальных практических задачах электростатики обычно принимают рав-

ным нулю потенциал поверхности земли. При теоретическом исследовании за-

дач, в которых рассматриваются заряженные тела, расположенные в ограничен-

ной области пространства и окруженные бесконечной диэлектрической средой,

обычно принимают равным нулю потенциал точек, бесконечно удаленных от за-

ряженных тел, т. е. определяют потенциал как интеграл:

Поверхности, которые пересекаются линиями напряженности электрического

поля под прямым углом, являются поверхностями равного электри-

ческого потенциала.Действительно, вдоль любой линии на этой поверх-

ностиимеем , так как cos a=0. Следовательно, разность потенциа-

лов любых двух точек A и B, лежащих на этой поверхности, равна нулю.

Уравнение U(x, y, z) = const определяет совокупность точек, лежащих на поверх-

ности равного потенциала, т. е. является уравнением этой поверхности. Следы

поверхности равного потенциала на плоскости чертежа называют линиями

равного потенциала.Очевидно, линии равного потенциала пересекаются

с линиями напряженности поля всюду под прямым углом.

Напряженность электрического поля внутри проводников при статическом

состоянии зарядов должна быть равна нулю, так как при отсутствии тока (J = 0)

имеем E =rJ = 0. Поэтому в электростатическом состоянии каждое проводящее

тело имеет во всем объеме одинаковый потенциал; поверхности этих тел суть по-

верхности равного потенциала, и линии напряженности поля в диэлектрике

нормальны к ним.

Если диэлектрическая проницаемость изолирующей среды, окружающей за-

ряженное проводящее тело, не зависит от напряженности электрического поля,

то величина E всюду в диэлектрике, а следовательно, и потенциал U тела будут

пропорциональны заряду q тела. Отношение q к U называется электриче-

ской емкостью тела:

причем равным нулю принимается потенциал в бесконечности. Электрическая

емкость уединенного тела зависит от геометрических параметров g, определяю-

щих форму и размеры тела, и от абсолютной диэлектрической проницаемости e

окружающего его диэлектрика: C = F(g, e). Если диэлектрик однороден, то

C =ef(g). При указанной оговорке, что e не зависит от E, величина C не зависит

от q и U.

Для двух проводящих тел, окруженных диэлектриком, при условии, что их

заряды равны и противоположны по знаку, т. е. q1 = –q2, разность потенциалов

этих тел будет пропорциональна заряду одного из них. При этом величина

называется электрической емкостью между этими телами. Она зависит

от геометрических величин g, определяющих форму, размеры и взаимное распо-

ложение тел, а также от абсолютной диэлектрической проницаемости e диэлек-

трика: C = F(g, e). Для однородного диэлектрика C =ef (g).

Система из двух таких тел, специально созданная для использования ее элек-

трической емкости, называется конденсатором.

В формуле для емкости между телами берется заряд того тела, от которого

отсчитывается разность потенциалов. При этом всегда C > 0.

Единицей электрической емкости служит фарад (Ф).

Единицей абсолютной диэлектрической проницаемости, как было отмечено

в § 1.4, является фарад на метр (Ф/м). Действительно, из выражения e=D/E

следует, что единицей величины e будет

Перейдем теперь к последнему из рассматриваемой группы понятий, а имен-

но к понятию «электродвижущая сила».

Характерное свойство всякого потенциального электрического поля, и в ча-

стности электростатического поля, а именно равенство нулю линейного инте-

грала напряженности поля вдоль любого замкнутого контура, относится лишь к

области пространства, расположенной вне источников так называемых элек-

тродвижущих сил (ЭДС).

Появление ЭДС связано с наличием электрических полей неэлектростатиче-

ского и непотенциального характера.

В общем случае будем говорить, что в замкнутом контуре действует элек-

тродвижущая сила e, если линейный интеграл напряженности электрического

поля вдоль замкнутого контура не равен нулю, причем, как будет сейчас пока-

зано, этот линейный интеграл равен ЭДС, действующей в контуре:

Источниками ЭДС могут являться, например, электрические генераторы, галь-

ванические элементы, аккумуляторы, термоэлементы.

Для уяснения сущности величины, к которой принято относить понятие

«электродвижущая сила», рассмотрим в виде примера гальванический элемент

(рис. 1.22). Тела A и B, подключенные к зажимам элемента, оказываются заря-

женными под действием ЭДС элемента. Интеграл вектора E по любому пути

в диэлектрике между телами A и B равен разности потенциалов этих тел:

Однако если изберем путь интегрирования от те-

ла A по соединительному проводнику к положитель-

ному электроду элемента, затем через электролит

(путь n) к отрицательному электроду и, наконец, по

соединительному проводнику к телу B, то должны

признать, что вдоль этого пути интеграл равен нулю: Действительно, этот путь лежит целиком

в проводящей среде. В металле проводимость обеспе-

чивается наличием электронов проводимости, в элек-

тролите — наличием положительных и отрицательных

ионов. Так как J = 0, то на всем этом пути E =rJ = 0.

В тонких слоях у поверхностей электродов отсут-

ствие результирующего электрического поля (E = 0)

является следствием наложения внутри этих слоев

на электрическое поле с напряженностью Eстат, образованное зарядами электро-

дов и электролита, равного и противоположного ему стороннего электрического

поля с напряженностью Eстор, имеющего неэлектростатическое происхождение,

что можно записать следующим образом:

Соответственно, будем иметь

Величина

и представляет собой ЭДС гальванического элемента, стремящуюся обладаю-

щие зарядом частицы внутри элемента привести в движение против сил элек-

тростатического поля Eстат.

Обратим внимание на то, что ЭДС будет положительной, если путь интегри-

рования внутри источника проходит от его отрицательного зажима к положи-

тельному.

Природа этой электродвижущей силы заключается в том, что под действием

давления растворения положительные ионы (атомы металла, лишенные элек-

тронов проводимости) стремятся выйти из электрода в электролит. Этому пе-

реходу противодействует осмотическое давление, которое испытывают положи-

тельные ионы металла со стороны электролита. Под действием разности этих

давлений и происходит переход положительных ионов из электрода в электро-

лит или в обратном направлении в зависимости от того, с какой стороны давле-

ние преобладает. В итоге электрод оказывается заряженным в первом случае —

отрицательно (избытком оставшихся в металле электронов проводимости), во

втором случае — положительно, а электролит приобретает заряд противополож-

ного знака. Между электродом и электролитом устанавливается разность потен-

циалов и образуется электростатическое поле Eстат, препятствующее переходу

ионов. Переход прекращается, когда разность давлений уравновешивается сила-

ми электростатического поля.

Действие на ион механической силы f, обусловленной разностью давлений,

эквивалентно наличию электрического поля напряженностью Eстор = f/q, где q—

заряд иона, что находится в полном соответствии с общим определением напря-

женности электрического поля. Таким образом, равновесное состояние наступа-

ет при условии

На рис. 1.22 векторы Eстор и Eстат условно изображены в пространстве между

электродами в области, занятой электролитом, хотя, как ясно из изложенного,

они отличны от нуля только в тонких слоях между электродами и электролитом.

Если электроды выполнены из разных материалов, то разности потенциалов

между ними и электролитом будут различны, что приводит к появлению разно-

сти потенциалов между электродами. Это поясняется эпюрой распределения по-

тенциала внизу на рис. 1.22.

Составляя линейный интеграл вектора E по замкнутому контуру AmBnA,

проходящему своей частью внутри источника ЭДС, получаем

С другой стороны,

так как

Следовательно,

т. е. электродвижущая сила элемента равна разности потенциалов или, что в дан-

ном случае одно и то же, напряжению на его зажимах при разомкнутой внешней

цепи (при отсутствии тока в цепи).

Из сказанного видно, что условие

справедливо только в области про-

странства вне источников ЭДС.

В примере с гальваническим элементом при отсутствии тока результирующее

поле (при макроскопическом рассмотрении явления) внутри элемента всюду от-

сутствует, что является следствием действия неэлектростатических, в данном слу-

чае электрохимических, причин. Соответственно напряжение вдоль пути BnA

внутри элемента при отсутствии тока равно нулю.

Введение понятия стороннего электрического поля как составляющей резуль-

тирующего поля и, соответственно, понятия ЭДС иlмdеет смысл в том

отношении, что именно этой ЭДС определяется работа, затрачиваемая на перене-

сение обладающих зарядами элементарных частиц, связанная с электрохимиче-

скими процессами. Следовательно, именно ЭДС характеризует при прохожде-

нии тока преобразование энергии внутри элемента. В связи с этим, говоря об

источникахЭДС, будем употреблять также термин источник энергии.

Весьма важным обстоятельством является то, что ЭДС элемента почти не за-

висит от электрического тока в его цепи.

Электродвижущие силы возникают также при соприкосновении разнородных

металлов. В этом случае возникновение ЭДС, называемых контактными

ЭДС, связано с переходом электронов проводимости в месте контакта из одного

металла в другой и образованием вследствие этого в одном металле избыточного

положительного, в другом — избыточного отрицательного электрического заря-

да. Этот переход электронов может рассматриваться как результат действия в

месте контакта стороннего электрического поля, имеющего неэлектростатиче-

ский характер. Появление на соприкасающихся металлах зарядов разных знаков

приводит к возникновению так называемой контактной разности потенциалов,

равной при отсутствии тока контактной ЭДС. Контактная ЭДС зависит от рода

соприкасающихся металлов и от температуры.

Последнее обстоятельство используется в так называемых термоэлементах.

Если составить замкнутую цепь из двух разнородных проводников, то при раз-

личных температурах t и t0 двух мест спаев этих проводников контактные ЭДС в

местах спаев будут различными и не будут взаимно компенсироваться вдоль

цепи. В итоге в замкнутой цепи будет действовать результирующая ЭДС, назы-

ваемая термоэлектродвижущей силой.Вобщее значение термоэлек-

тродвижущей силы войдут также еще дополнительные ЭДС, которые возникают

вдоль каждого из двух однородных проводников вследствие того, что один ко-

нец их находится в среде более высокой температуры, чем другой. Эти допол-

нительные ЭДС являются результатом некоторого перехода электронов прово-

димости от более нагретого конца проводника к менее нагретому вследствие

того, что интенсивность теплового движения электронов возрастает с увеличе-

нием температуры.

В термоэлементе действие ЭДС при прохождении тока связано с преобразо-

ванием тепловой энергии в электромагнитную. Обычно применяемые термопа-

ры имеют ЭДС порядка нескольких милливольт или десятых милливольта при

температурах холодного и горячего спаев соответственно 0 и 100 °С.

В следующих параграфах понятие «электродвижущая сила» будет расширено

включением в него ЭДС, индуцируемых при изменении во времени магнитного

потока, и тогда будет дано общее определение этого важного понятия.

Обратим особое внимание на то, что при определении ЭДС, как уже было

сказано, путь интегрирования берется внутри источника энергии от отрицатель-

ного зажима к положительному а при определении напряже-

ния на его зажимах B и A интегрирование ведется по пути вне источника от по-

ложительного зажима к отрицательному: