Упражнение 5

При составлении расписания на понедельник преподаватели просили, чтобы уроки проходили в следующем порядке:

1) математика первым или третьим уроком;

2) история - первым или вторым;

3) литература - вторым или третьим.

Можно ли удовлетворить просьбы всех трех преподавателей и каким образом, если это возможно?

Введем следующие элементарные высказывания:

А - математика - I ^ый урок

В - математика - III ^ий урок

С - история - II ^ой урок

D - история - I ^ый урок

E - литература - II ^ой урок

F - литература - III ^ий урок

Просьбы всех преподавателей выражены высказываниями S₁=АÚ В, S₂=CÚ D, S₃=EÚ D.

Высказывание, удовлетворяющее просьбы всех трех преподавателей, очевидно, есть конъюнкция S₁, S₂, S₃, т.е. S = S₁ Ù S₂ Ù S₃ и оно должно быть истинным, т.е. S=1. Применим дистрибутивный закон №7 в преобразованиях S:

S=(AÚ B)(CÚ D)(EÚ F)=(ACÚ BCÚ ADÚ BD)(EÚ F)

В данном случае конъюнкция AD=0, т.к. первым уроком математика и история одновременно быть не могут.

S=ACЕÚ BCЕÚ BDЕÚ ACFÚ BCFÚ BDF

Очевидно АСЕ=0, т.к. СЕ=0: второй урок не может быть одновременно уроком истории и литературы. Аналогично: ВСЕ=0, BCF=0, BDF=0, т.е. S= BDЕÚ ACF=1.

Дизъюнкция истинна, если одно из слагаемых истинно: BDЕ=1; ACF=1.

Конъюнкция высказываний истинна, если истинны все входящие в нее сомножители. В результате получаем два возможных варианта ответа:

1) BDЕ=1, т.е. история - I ^ый урок,

литература - II ^ой урок,

математика - III ^ий урок.

2) ACF=1, т.е. математика - I ^ый урок

история - II ^ой урок,

литература - III ^ий урок.

Варианты импликации

В математике весьма важными являются понятия: " необходимое условие", " достаточное условие", которые могут быть записаны с помощью связи импликации.

" А достаточное условие для В", очевидно выражается формулой: А®В, а " А необходимое условие для В" - формулой В®А, которую называют конверсией импликации. В конверсии импликации посылка А и заключение В меняются местами.

Достаточное условие может быть выражено формулой, равносильной формуле А®В, а именно , называемой контроппозицией, а необходимое условие - формулой , называемой конверсией контроппозиции. В рассуждениях эти равносильные формулы заменяют друг друга. Кроме того, " А достаточно для В" может быть выражено в виде " А только, если В", (не путать с " А если и только если В"), т.к. это означает: " Если не В, то не А", т.е.

=А®В

Итак, получим:

" А достаточно для В": А®В= , " А только, если В";

" А необходимо для В": .

Очевидно, необходимое и достаточное условие выражается двойной импликацией