Условия существования потенциального поля

ЛЕКЦИЯ 2

Условия существования потенциального поля. Условия существования вихревого поля. Векторный потенциал. Смешанные векторные поля. Теорема Остроградского – Гаусса. Теорема Стокса. Формулы Грина.

УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ ПОТЕНЦИАЛЬНОГО ПОЛЯ

Векторное произведение любого вектора на самого себя равно нулю. Этот вывод можно распространить и на «вектор» :

Поэтому ротор градиента скалярной величины всегда равен нулю:

Векторная величина М, не имеющая ротора, является градиентом некоторого скаляра, обычно называемого скалярным потенциалом поля вектора М. Отсутствие ротора показывает, что линии поля не образуют замкнутых кривых (вихрей). Каждая линия принципиально разомкнута, начинаясь у некоторого «источника» и заканчиваясь у некоторого «стока». Таково, например, электростатическое поле, где источниками и стоками являются соответственно положительные и отрицательные заряды.

В точках расположения источников и стоков дивергенция вектора не равна нулю. Это — второе условие существования безвихревого (потенциального) поля.

Итак, потенциальное поле характеризуется: 1) отсутствием ротора; 2) наличием дивергенции, хотя бы в некоторых точках; 3) наличием скалярного потенциала: