Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Сплайн-интерполяция. ⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 2
Назовем m-сплайнами полиномы невысокого порядка m, которыми аппроксимируется функция на интервалах и которые сшиваются в узлах интерполяции на основе требования непрерывности интерполирующей функции и ее первых производных. Рассмотрим наиболее широко используемую на практике кубическую сплайн-интерполяцию. В ней искомая функция на интервале аппроксимируется полиномом третьей степени (11.1) Аналогичные полиномы можно записать для всех n интервалов, т. е. соотношение (11.1) справедливо для . Условия сшивки сплайнов в узлах интерполяции: , (11.2) , (11.3) . (11.4) Кроме того, необходимо задать граничные условия в точках и . Это можно сделать несколькими способами. Здесь будем считать, что , т. е. будем рассматривать интерполяцию так называемыми естественными сплайнами. Условие (11.2) приводит к уравнениям: (11.5) Получили уравнений относительно неизвестных , . Вычислим производные: Построим уравнения, к которым приводит условие непрерывности первой производной в узлах . При кубической сплайн-интерполяции выражения для первой производной на соседних интервалах интерполирования имеют вид Требование непрерывности первой производной в узлах (условие 11.3) приводит к уравнениям . (11.6) В свою очередь, непрерывность второй производной в этих же узлах (условие (11.4)) позволяет записать , или . (11.7) Наконец, из граничных условий , получим, что . (11.8) Соотношения (11.5), (11.6), (11.7), (11.8) составляют систему линейных алгебраических уравнений, всего уравнений, относительно неизвестных. Построим эффективный метод решения этой системы. Выразим из (11.7) : , (11.9) и подставим в (11.5): . Учтем, что : . Выразим из этого соотношения : . (11.10) Подставим теперь в формулу (11.6): Выполним очевидные преобразования и запишем результирующую систему в виде: (11.11) Получили систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных . Однако, если учесть, что из граничных условий , то приходим к системе линейных алгебраических уравнений с треугольной симметрической матрицей Обратите внимание: матрица системы обладает диагональным преобладанием! Эту систему можно эффективно решать методом -факторизации. Вычислив коэффициенты , из соотношений (11.9) находим . Из условия (11.8) определяем : Коэффициенты рассчитаем из (11.10): так как . Коэффициенты , известны из (11.5). В результате для всех кубических сплайнов определены коэффициенты . Расчет значений функции методом сплайн-интерполяции осуществляется следующим образом: 1. По описанной выше методике вычисляются коэффициенты кубических сплайнов; 2. Находится интервал , которому принадлежит данное . Значение функции на этом интервале вычисляется из кубического сплайна с параметрами для интервала .
|