Расчет элементов конструкций с трещинами

Теория расчета тел с трещинами была создана в 1930-ых годах (автором является Гриффитс, первая работа была им опубликована в 1921 г.)

Рассмотрим вывод формулы Гриффитса:

Рис.9.5.1

Пусть в теле есть трещина длины b (рис.9.5.1). Вырежем содержащий её элемент (см. рис.9.5.2).

Рис.9.5.2

Нарисуем растянутые полоски (см. рис.9.5.2). В областях над трещиной и под трещиной материал не может быть нагружен (на см. рис.9.5.2 они представляют собой фигуры типа криволинейных треугольников).

Подсчитаем энергию, накопленную в одной полоске, примыкающей к трещине. Пусть t- толщина пластинки, H -длина полоски. Тогда энергия упругой деформации будет

.

Здесь V - объем полоски. Он равен

Рассмотрим случай, когда трещина начала расти, пусть она увеличилась на ширину полоски . Но после этого в выделенной полоске энергия деформации исчезает, поскольку там нет напряжений. С другой стороны энергия исчезнуть не может - она была потрачена на увеличение трещины на величину , то есть была потрачена на разрыв межмолекулярных связей. Пусть на создание одного квадратного сантиметра трещины требуется энергия С (размерность - кН/см).

Тогда на создание трещины длины см. требуется энергия, равная U = . Согласно закону сохранения энергии должно быть:

W=U

Свяжем Н с шириной трещины. Ясно, что чем больше b, тем больше Н. Это утверждение можно записать в виде:

.

Кроме того, имеет место закон Гука: . Тогда получим:

.

Обозначим: .

Тогда: .

Поскольку трещина начала увеличиваться, это означает, что тело начинает разрушаться. Поскольку напряжение, при котором тело разрушается, называется пределом прочности (обозначается или , или , или ), то окончательно формула Гриффитса принимает вид:

Здесь Е – модуль Юнга, а – константа материала, b - длина трещины.

Порядок расчета тел с трещинами

Пусть имеется тело, нагруженное какими-то силами, и обнаружена трещина длины b. Расчет производится в следующем порядке. Мысленно вырезаем элемент вблизи трещины и определяем напряжение растяжения s. Из справочника для данного материала находят механические константы и вычисляют предел прочности по формуле Гриффитса:

.

Если , то говорят, что конструкция выдержит заданные нагрузки. Если известен коэффициент запаса, который даётся заказчиком, то вычисляют допустимое напряжение

.

Тогда, если , то говорят, что тело является прочным.