Студопедия

Главная страница Случайная страница

Разделы сайта

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Лекция 10: Частотные методы определения устойчивости






 

К частотным критериях относятся два критерия:

1) критерий Михайлова (сформулирован в 1936 г.)

2) критерий Найквиста (в 1932 г.)

Частотные критерии связаны с построением годографа на комплексной плоскости в функции частоты, т.е. это графоаналитические методы.

 

Критерий устойчивости Михайлова

В основе лежит построение годографа характеристического полинома

- полином Гурвица.

При , получим

где X(ω) – содержит четные степени ω;

Y(ω) – содержит нечетные степени ω.

Правило: Система устойчива, если при изменении ω от 0 до ∞ годограф D(jω) огибает начало координат против часовой стрелки, проходя последовательно n четвертей (квадрантов), где n – порядок D(jω).

 


Достоинство: в отличие от критерия Гурвица малокритичен к порядку характерного полинома.

Недостаток: Трудно оценить запас устойчивости. От этого недостатка свободен критерий Найквиста.

 

Критерий устойчивости Найквиста

В основе критерия лежит построение годографа частотной ПФ разомкнутой системы:

при изменении частоты ω от 0 до +∞. То есть это также графоаналитический метод.

       
   
 


Правило 1: Если разомкнутая система устойчива и годограф ПФ разомкнут, система (при изменении ω от 0 до ∞) не охватывает точку с координатами
(-1; j0), то замкнутая САУ будет устойчива; если годограф охватывает точку
(-1; j0), то САУ – неустойчива. Если годограф W(jω) проходит через точку
(-1; j0), то система находится на границе устойчивости.

Примеры:

           
   
 
   
 
 

 


Правило 2: Если разомкнутая САУ неустойчива, то для устойчивости системы в замкнутом состоянии АФХ разомкнутой системы должны охватывать точку (-1; j0) раз, где k - число правых полюсов ПФ W(s), т.е. число полюсов с α i> 0 (положительной действительной частью).

Достоинства: 1) частотные характеристики можно снять экспериментально;

2) можно дать оценку запаса усталости

а) γ – запас по фазе;

б) - запас по модулю (амплитуде).

             
 
   
При увеличении коэффициента передачи K разомкнутой системы запас по фазе уменьшается. При некотором значении K годограф пройдет через точку (-1, j0). Это значение K=Kкр – называется критическим коэффициентом усиления (передачи).
 
 
 
   
Рис. Запретная зона с заданными ± h и ± γ, в которую не должны входить W(jω).
 

 


Физическая сущность усталости, исходя из критерия Найквиста, интерпретируется следующим образом:

 
 

 

 


1. Фаза e(t) отличается от фазы y(t) на -180º, т.к. y(t) после элемента сравнения за счет операции вычитания изменяет фазу на противоположную.

2. Если коэффициент передачи на частоте колебаний равен 1, то получаем затухающие колебания, т.е. φ = -180º, |W(jω)|=1.

3. Если при φ = -180º |W(jω)|> 1, то ошибка будет увеличиваться все больше и больше – т.е. неустойчивый процесс.

4. При φ = -180º |W(jω)|< 1, то процесс колебаний затухает до нуля – система устойчива.

Вывод: Поэтому точка (-1, j0) – является особой точкой в критерии Найквиста и фаза -180º, и модуль А=1.

 

Устойчивость систем управления с запаздыванием

       
 
   
 

 


Таким образом, запаздывание увеличивается на ω τ, т.е. устойчивость ухудшается. Годограф из-за составляющей ω τ закручивается вокруг начала координат по спирали, т.е. исходный годограф W (jω) поворачивается на угол θ =ω τ.

Критерий Найквиста для САУ с запаздыванием не изменяется: годограф Wτ (jω) не должен охватывать точку (-1; j0). Если имеется исходная W (jω), то по годографу можно определить допустимое запаздывание, которое выводит систему на границу устойчивости:

- графическим методом

или аналитически из условия –φ (ω 0) – τ ω 0 = -π

.

Вывод: Для систем с запаздыванием критерий Найквиста – единственный, практически применяемый критерий устойчивости. (кроме дискретных систем, где запаздывание учитывается аналитически наиболее просто)

 

Определение устойчивости по ЛЧХ

 

Критерий Найквиста может быть интерпретирован в логарифмической форме (виде). Так например, точке пересечения W (jω) с осью -1 ÷ -∞ будет соответствовать сдвиг фазы на –π, -3π, -5π и т.д., а А(ω) = 1, т.к. L = 20lg1 = 0. Т.е. точка ω ср аналог точки (-1; j0).

Поясним критерий Найквиста на примере:

Т1> T2> T3

 

 

La = 20 lg(1-h), где 1-h = a – запас по модулю (см. обычный критерий Найквиста)

 

 

ω ср – частота среза, где L(ω ср) = 0.

γ – запас устойчивости по фазе.

в абсолютных единицах.

 

Правило: Если на частоте среза ω ср фаза φ (ω ср) меньше по модулю 180º, то САУ устойчива.

 

Второй вариант: В устойчивой САУ φ (ω) должная пересекать ось - 180º правее точки ω ср.

 

 
 

 


Построение областей устойчивости

 

Часто ставится задача не только определить устойчивость, но и выбрать область параметров, в которой система будет заведомо устойчива.

Такая задача решается построением областей устойчивости.

Обычно рассматривают плоскость одного, двух и иногда трех параметров:

       
   
 
 

 


Правило штриховки: штриховка направлена в область устойчивости.

 

Примечание: Если система во всей области параметров неустойчива, то она называется структурно неустойчивой → обычно не выполняются необходимые условия устойчивости.

 

Таким образом для определения области устойчивости и соответственно неустойчивости необходимо построить границу устойчивости. Это можно сделать с помощью критериев устойчивости:

1. Условие Гурвица: Δ (А, В) = 0 и его миноры

2. Критерий Михайлова (D-разбиение)

D(jω, A, B) = 0, или X(ω, A, B) = 0, Y(ω, A, B) = 0

3. Критерий Найквиста:

или , ω изменяется от 0 до ∞.

 

Полученные области проверяются на устойчивость по первой тоже с использованием любого критерия. Иногда можно определить область устойчивости по физическому смыслу параметров.

 

Пример:

 
 

 


1. Критерий Гурвица:

а31а2 – а0а3) = 0 – уже было ранее.

или .

 
 

 


2. Критерий Михайлова:

Ω   ....
Ky ....
Ty ....

,

 

примечание: Если заменить , то будет как в Гурвице.

 

Вывод: Результат тот же.

Но есть в этом примере недостаток – требуется преобразование в формуле Ку при ω = 0. Если этого не сделать, то будет несколько иной результат. То есть требуется подставить Т4 при ω = 0. Для других частот – все нормально.

 

3. Критерий Найквиста:

, отсюда

или

 

Если далее строить годограф задавая ω в диапазоне 0÷ ∞, то получим тот же результат.

 

Вывод: Для построения областей устойчивости критерия Михайлова удобнее, т.к. проще соотношения.

 

Дополнение: Все соотношения эквивалентны. Например, от результатов, получаемых по Найквисту можно перейти к соотношению для критерия Михайлова.

Имеется известная формула из тригонометрии:

Отсюда , где при TyTмω 2 = 1.

 

Поэтому – см. условие Михайлова.

Теперь если подставим это соотношение для в А(ω), то получим

, т.е. как по Михайлову.

 







© 2023 :: MyLektsii.ru :: Мои Лекции
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.
Копирование текстов разрешено только с указанием индексируемой ссылки на источник.