Перетворення Лапласа

Реальні САК мають математичну модель у вигляді складних диференціальних рівнянь, розв'язок яких у загальному вигляді в більшості випадків неможливий. Для полегшення даної задачі розроблено декілька методів. Найбільш поширеним є метод перетворення Лапласа, побудований на тому, що функції часу замінюють їх зображеннями.

Перетворенням Лапласа називають співвідношення:

Це співвідношення ставить у відповідність функції x(t) дійсної змінної t функцію X(s) комплексної змінної s ().

При цьому x(t) називають оригіналом, a X(s) - зображенням за Лапласом. Це записують таким чином: , або .

Інколи використовують символічний запис: , де L - оператор Лапласа.

Співвідношення

визначає за відомим зображенням його оригінал і називається оберненим перетворенням Лапласа. Символічно це можна записати так: де – обернений оператор Лапласа.

Перетворення Лапласа є дуже цінним методом аналізу і синтезу систем керування, коли необхідно визначити перехідні процеси і точність регулювання в усталеному режимі. Але слід пам'ятати, що це перетворення є справедливим тільки для лінійних стаціонарних (з постійними параметрами) систем. У нестаціонарних системах один або декілька параметрів залежать від часу, тому перетворенням Лапласа користуватися не можна. Перетворення Лапласа не можна використовувати також для аналізу нелінійних систем.

У курсі ТАК прийнята стандартна форма запису лінійних диференціальних рівнянь, при якій члени, що містять вихідну величину та її похідні, записують у лівій частині рівняння, а решту членів - у правій частині. Коефіцієнт при вихідній величині y(t) роблять рівним одиниці.

Рівняння (3) може бути записано також в операційній формі, якщо до лівої та правої частин застосувати перетворення Лапласа:

(7)

Зовні рівняння (3) і (7) схожі, але вони принципово відрізняються одне від одного, оскільки в першому буква р позначає оператор диференціювання d/dt, а змінні x(t) та y(t) є реальними функціями часу. Тобто рівняння залишається диференціальним. Рівняння (7) - алгебраїчне. У ньому буква s позначає комплексу змінну, а величини X(s) і Y(s) є зображеннями фізичних величин x(t) та y(t).

Крім того, схожість даних рівнянь можлива, тільки якщо система стаціонарна, тобто коефіцієнти а_j b_j постійні, а початкові умови для диференціального рівняння нульові.

Операційна форма запису рівнянь проста і зручна, оскільки перетворити та розв'язати алгебраїчне рівняння простіше, ніж диференціальне. Це забезпечило її широке застосування в теорії автоматичного керування.

Введемо поняття передавальної функції за Лапласом.

Передавальною функцією за Лапласом W(s) називається відношення зображення вихідної величини до зображення вхідної величини за нульових початкових умов.

Із (7) отримуємо:

(8)

Тоді рівняння можна записати у вигляді

Y(s) = W(s)*X(s). (9)

Знаменник передавальної функції (8) є характеристичним поліномом системи. Якщо його прирівняти до нуля, отримаємо характеристичне рівняння САК, тобто

Корені характеристичного рівняння визначають характер руху системи і називаються полюсами передавальної функції, а корені чисельника називаються нулями передавальної функції. У полюсах функція W(s) перетворюється на нескінченність, а в нулях вона стає рівною нулю. Розміщення полюсів на комплексній s-площині визначає характер власного (вільного) руху системи.

Передавальна функція системи W(s) та її часові функції h(t) і w(t) пов'язані між собою:

L{h(t)} = W(s)/s - зображення перехідної функції;

L{w(t)} = W(s) - зображення імпульсної перехідної функції.

Звідси, відповідно, можна записати:

. (10)

Співвідношення (10) дозволяють знайти перехідну та імпульсну перехідну функції САК за її відомою передавальною функцією W(s). Для цього можуть бути використані таблиці зображень основних елементарних функцій чи теорема розкладу.