Главная страница Случайная страница
Разделы сайта
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Преобразование Лапласа и его свойства
|
|
В основе операторного метода расчета переходных процессов лежит преобразование Лапласа, которое позволяет перенести решение из области функций действительного переменного t в область комплексного переменного р:
.(1.1)
При этом операции дифференцирования и интегрирования функций времени заменяются соответствующими операциями умножения и деления функций комплексного переменного на оператор 
, что существенно упрощает расчет, так как сводит систему дифференциальных уравнений к системе алгебраических. В операторном методе отпадает необходимость определения постоянных интегрирования. Этими обстоятельствами объясняется широкое применение этого метода на практике.
Различают прямое и обратное преобразование Лапласа. Прямое преобразование Лапласа определяется уравнением.
, (1.2)
где 
—функция действительного переменного f, определенная при t≥ 0 (при t< 0; f(t)= 0) и удовлетворяющая условиям ограниченного роста:
, (1.3)
где множитель М и показатель роста с0 — положительные действительные числа. На рис.(1.1) изображена область определения функции комплексного переменного F(p).
Рис. 1.1
Обратное преобразование Лапласа определяют из решения
(1.4)
Функция 
, определяемая уравнением (1.2), носит название изображения по Лапласу, а функция 
в (1.4) — оригинала. следовательно, оригинал и изображение представляют собой пары функций действительного f(t) и комплексного F(p) переменного, связанных преобразованием Лапласа. Для сокращенной записи преобразований (1.2), (1.4) используют следующую символу:
,
где L — оператор Лапласа. В дальнейшем для определенности будем использовать знак соответствия 
. Рассмотрим основные свойства преобразований Лапласа. Свойство линейности является следствием линейности преобразования Лапласа, его можно записать в форме
(1.5)
где 
— постоянные коэффициенты разложения. Свойство (1.5) легко доказать, если применить к левой части соотношения (1.5) прямое преобразование Лапласа (1.2).
Дифференцирование оригинала. При ненулевых начальных условиях: 
(0_)≠ 0 дифференцирование оригинала соответствует следующему условию
(1.6)
Для доказательства (1.6) подставим 
в преобразование (1.2) в виде
|
|