Принужденный и свободный режимы

В общем случае анализ переходного процесса в линейной цепи с сосредоточенными параметрами r, L, C, M сводится к решению обыкновенных линейных неоднородных дифференциальных уравнений, выражающих законы Кирхгофа. Эти уравнения представляют линейную комбинацию напряжений, токов, их первых производных и интегралов по времени.

Например, если какая-нибудь ЭДС е(t) включается в цепь состоящую из последовательно соединенных г, L, C, то интегро-дифференциальное уравнение имеет вид:

Это уравнение после дифференцирования приводится к неоднородному дифференциальному уравнению второго порядка:

Как известно, общее решение такого уравнения равно сумме частного решения неоднородного уравнения и общего решения однородного уравнения.

Частное решение выражает принужденный режим, задаваемый источником. Если воздействующая функция, стоящая в правой засти уравнения, постоянна или является периодической функцией времени, то принужденный ток будет одновременно и установившимся. Расчеты установившихся токов рассмотрены в предыдущих главах. Нахождение частного решения в других, более сложных случаях, будет изложено в §13-7, а также в §14-12.

Общее решение физически определяет поведение цепи при отсутствии внешних источников электрической энергии и при заданных начальных условиях. Функции, определяемые общим решением, называются свободными составляющими (токов, напряжений и др.).

В случае, рассмотренном выше, однородное уравнение имеет вид:

и соответствующее ему характеристическое уравнение

.

Если корни характеристического уравнения обозначить через p₁ и p₂ , то общее решение запишется в виде:

где А₁ и А₂ – постоянные интегрирования, которые определяются из начальных условий (§13.7).

Полный переходной ток в цепи равен сумме принужденного и свободного токов:

Аналогично напряжение, заряд, магнитный поток и другие функции на любом участке цени в переходном режиме состоят из принужденной и свободной составляющих.

На основании законов коммутации (§13.2) можно найти начальные независимые условия и . После этого можно записать согласно (13.7):

откуда

Итак, начальные значения свободных функций и определяются изменениями в момент коммутации соответствующих принужденных функций.

В частном случае при нулевых начальных условиях

;

.

В зависимости от порядка дифференциальных уравнений описывающих исследуемые переходные процессы, различают цепи первого, второго и более высокого порядка.

В цепях первого порядка накопление энергии происходит только в одном элементе, L или С, в форме магнитной энергии (в цепи с индуктивностью - §13.4) или электрической энергии (в цепи с емкостью - §13.5). Одноконтурная цепь, содержащая элементы, в которых накапливается энергия обоих видов - магнитная и электрическая, представляет цепь второго порядка (цепь r, L, C - §13.6). Разветвленные цепи могут быть более высокого порядка (§13.7).