Сурет 3.6-сурет

Бұ рыштық ү деуді де модулі болғ ан, ал бағ ыты дененің айналу ө сі бойлап бағ ытталғ ан вектор ретінде қ арастыруғ а болады. Сонымен қ атар, мен векторлары бағ ыттас болса, онда дененің айналуы ү демелі (3.5-сурет), ал керісінше бұ л векторлар біріне-бірі қ арама-қ арсы бағ ытталса, онда кемімелі (3.6-сурет).

Бұ л мен векторлары дененің айналу ө сінің кез-келген нү ктесінде жатуы мү мкіе. Себебі, бұ л векторлар жылжымалы деп есептелінеді.

§3.5. Дененің бір қ алыпты жә не бірқ алыпты айнымалы айналмалы қ озғ алысы

Егер бұ рыштық жылдамдық тұ рақ ты болса, онда дененің айналмалы қ озғ алысы бір қ алыпты деп аталады. Бастапқ ы уақ ыт де айналу бұ рышы деп дененің бір қ алыпты айналмалы қ озғ алысының тең деуін табайық. Ол ү шін

,

ө рнегін қ арастырайық. Бұ дан .

Бұ л ө рнекке тиісті болғ ан сол жағ ындағ ы интегралды j₀ ден j ге дейін, оң жағ ындағ ы интегралды 0 ден t ғ а дейін интегралдаймыз. Сонда

;

. (3.13)

Табылғ ан (3.13) ө рнегі дененің бір қ алыпты айналмалы қ озғ алысының тең деуін береді. Дербес жағ дайы ү шін (3.13) тө мендегідей кө рініске ие:

.

Техникада кө бінше дене бір қ алыпты айналғ ан кезде оның бұ рыштық жылдамдығ ы бір минуттағ ы айналу n санымен беріледі, яғ ни айн/мин та. Осы бір минуттағ ы айналу n саны мен w бұ рыштық жылдамдық тық тың арасындағ ы байланысты анық тайық. Дене бір айналғ анда ол 2p рад бұ рыш қ ұ райды. Ал n рет айналғ анда бұ л бұ рыш 2pn рад болады. Осының бә рі t = 1 мин = 60 с ішінде. Біз екенін еске алсақ, онда

. (3.14)

Табылғ ан (3.14) ө рнегі дене бір қ алыпты айналғ ан кезде оның бұ рыштық жылдамдығ ын анық тау ү шін қ олданылады.

Егер дененің бұ рыштық ү деуі болса, онда оның айналуын бірқ алыпты айнымалы қ озғ алыс дейді. Бастапқ ы уақ ыт де айналу бұ рышы , бұ рыштық жылдамдығ ы деп дененің бір қ алыптыайнымалы айналмалы қ озғ алысының тең деуін табайық. Ол ү шін

,

формуласынан пайдаланайық. Онда . Бұ л ө рнекке тиісті болғ ан сол жағ ындағ ы интегралды w₀ ден w ғ а дейін, оң жағ ындағ ы интегралды 0 ден t ғ а дейін интегралдаймыз. Сонда

;

. (3.15)

Сонымен табылғ ан (3.15) ө рнек арқ ылы дененің бір қ алыптыайнымалы айналмалы қ озғ алысының бұ рыштық жылдамдығ ы анық талады. Енді айналу бұ рышын табайық. Ол ү шін бұ рыштық жылдамдық w ны ө рнегімен алмастырайық. Онда

; .

Бұ л тең діктің сол жағ ын j₀ ден j ге дейін, ал оң жағ ын 0 ден t ғ а дейін интегралдаймыз. Сонда

; ;

. (3.16)

(3.16)-ө рнек дененің бір қ алыптыайнымалы айналмалы қ озғ алысының тең деуін береді. Бастапқ ы кезде j₀ = 0, w₀= 0 болса, онда

.

§3.6. Тұ рақ ты ось тө ң ірегінде айналатын дене нү ктелерінің жылдамдығ ы мен ү деуі

Алдың ғ ы ө ткен тақ ырыбымызда біз жалпытұ рақ ты ось тө ң ірегінде айналатын денеге ғ ана тиісті болғ ан қ озғ алыс характеристикаларын белгіледік. Олар бұ рыштық жылдамдық пен бұ рыштық ү деу еді. Енді сол дененің кез-келген нү ктесінің дене тұ рақ ты ось тө ң ірегінда айналып тұ рғ ан кездегі қ озғ алысын зерттейік. Дененің осы нү ктесі ретінде айналу осінен R қ ашық тық та жайласқ ан М нү ктесін қ арастырайық (3.7-сурет). Дене айналғ анда бұ л нү ктенің қ озғ алыс траекториясының радиусы R болғ ан шең бер. Оның центрі дененің айналу осінде болып, ө зі осы оске перпендикуляр жазық тық та. Егер dt уақ ыт ішінде дене бұ рышқ а айналатындай болса, онда сол дененің М нү ктесінің қ озғ алыс траекториясындағ ы алатын элементар орын ауыстыруы

болады.

w

Сурет

Олай болса, қ арастырып отырғ ан М нү ктенің жылдамдығ ы тө мендегі формуладан анық талады:

. (3.17)

Бұ л жылдамдық М нү ктенің айналмалы жылдамдығ ы деп аталады. Ол дененің айналатын жағ ына қ арап шең берге жанама бойлап бағ ытталады. Дененің бұ рыштық жылдамдығ ы w оғ ан тиісті барлық нү ктелер ү шін бірдей болғ андық тан айналмалы жылдамдық қ аралып отырғ ан нү ктеден айналу осіне дейінгі қ ашық тық қ а пропорционал.

Дененің М нү ктесінің ү деуін табу ү шін оның алдын-ала жанама жә не нормаль ү деулерін анық таймыз.

Дененің айналмалы қ озғ алысы ү шін бұ л ү деулер сә йкес бұ рыштық жә не центрге тартқ ыш ү деулер деп аталады. Олар мыналар:

, (3.18)

. (3.19)

Центрге тартқ ыш ү деу ә р уақ ытта шең бердің радиусы бойлап оның центріне қ арап бағ ытталғ ан. Ал жанама ү деу шең берге жанама бойлап бағ ытталады (3.8-сурет). Сонымен қ атар, егер мен векторларының бағ ыттары бір-бірімен бағ ыттас болса, онда дененің айналмалы қ озғ алысы ү демелі, ал бұ л векторлардың бағ ыттары бір-біріне теріс болса, онда ол кемімелі.

Сурет

Дененің М нү ктесінің толық ү деуі мына формуламен анық талады:

. (3.20)

Нү ктенің толық ү деуі мен шең бердің радиусының арасындағ ы бұ рыш

(3.21)

тең. Денеге тиісті барлық нү ктелер ү шін e мен w бірдей болғ андық тан, анық талғ ан (3.17), (3.18), (3.19), (3.20) ө рнектерден v, , , а лар дененің айналу осінен нү ктеге дейінгі ара-қ ашық тық қ а тікелеі пропорционал екендігі кө рінеді.

Бақ ылау сұ рақ тары

1. Дененің қ андай қ арапайым қ озғ алыстарын Сіз білесіз?

2. Қ атты дененің негізгі есептерін талдап берің із.

3. Дененің екі нү ктесінің проекциясы жө ніндегі теорема.

4. Қ атты дененің ілгерілемелі қ озғ алысы дегенде нені тү сінесі? Дененің осындай қ озғ алысына мысал келтірің із.

5. Ілгерілемелі қ озғ алыстың тең деуін жазың ыз.

6. Дененің ілгерілемелі қ озғ алысының қ асиетін сыйпаттайтын теореманы айтың ыз.

7. Дененің айналмалы қ озғ алысының анық тамасын берің із. Дененің осындай қ озғ алысына мысал келтірің із.

8. Дененің бұ рыштық жылдамдығ ы мен бұ рыштық ү деуі дегеніміз не?

9. Бұ рыштық жылдамдық пен бұ рыштық ү деудің таң балары қ андай болғ анда дененің айналмалы қ озғ алысы ү демелі не кемімелі болады?

10. Қ андай формулалар арқ ылы дененің бұ рыштық жылдамдығ ы мен бұ рыштық ү деуі анық талады? Олардың бағ ыттары қ алай бағ ытталғ ан?

11. Дененің айналмалы бір қ алыпты жә не бірқ алыпты айнымалы қ озғ алыстары дегеніміз не?

12. Қ озғ алмайтын ось тө ң ірегінде айналып тұ рғ ан денеге тиісті нү ктелердің жылдамдығ ы мен ү деуі қ андай формулалар арқ ылы табылады?

13. Нү ктенің бұ рыштық жә не центрге тартқ ыш ү деуі неге тең? Олар қ алай бағ ытталғ ан?