Приклад 4. Побудова економетричної моделі на основі покрокової регресії

Для десяти цехів машинобудівного підприємства наведено такі дані (табл. 5.1). Побудуємо економетричну модель, яка описуватиме зв’язок продуктивності праці з наведеними чинниками згідно з алгоритмом покрокової регресії.

Розв’язання

Крок 1-й. Усі вихідні дані стандартизуються (нормалізуються) (табл. 5.2.)

Таблиця 5.2. Розрахункові дані задачі

Показники
Сума			1, 69
Середнє значення	52, 3	2137, 6	0, 169	142, 4
Стандартне відхилення	8, 25	255, 72	0, 10	18, 60

Таблиця 5.3. Значення стандартизованих показників

-0, 885	-0, 069	0, 319	-0, 667
-1, 249	-0, 976	-1, 328	-0, 828
-0, 279	-0, 319	1, 349	0, 462
0, 327	0, 369	0, 319	0, 355
-1, 491	-1, 289	-0, 711	-0, 129
2, 146	2, 590	-0, 711	-0, 075
0, 449	0, 338	0, 834	0, 516
0, 570	-0, 163	-1, 431	2, 452
0, 327	0, 056	-0, 196	-1, 205
0, 085	-0, 538	1, 555	-0, 882

Крок 2-й.Запишемо кореляційну матрицю для вихідних даних:

З матриці очевидно, що діагональні її елементи дорівнюють одиниці, бо вони характеризують зв’язок кожної змінної із собою. Ця матриця квадратна і симетрична.

У першому рядку містяться коефіцієнти парної кореляції, що характеризують тісноту зв’язку кожної змінної з продуктивністю праці.

Так, = 0, 9; = 0, 03; = 0, 28, де – продуктивність праці; – зарплата; – фондомісткість продукції; – відсоток виконання норми виробітку.

Крок 3-й. Оскільки серед величин максимальне значення = 0, 9, то спочатку побудуємо модель: .

,

Крок 4-й. Порівнявши два інші коефіцієнти: max{ = 0, 03; = 0, 28} = 0, 28, введемо до моделі змінну : і, нарешті,

Для моделі система нормальних рівнянь запишеться так:

Для моделі система нормальних рівнянь запишеться так:

Далі, використовуючи співвідношення , обчислимо оцінки параметрів моделі для вихідної нестандартизованої інформації:

У результаті дістанемо такі регресійні рівняння зв’язку:

;

Приклад 5. Оцінка коефіцієнтів детермінації

Порівняємо коефіцієнти детермінації для різних економетричних моделей, побудованих для вихідних даних, наведених у табл. 5.1, на основі покрокової регресії.

Таблиця 5.4. Коефіцієнти детермінації

Економетрична модель		з урахуванням числа ступенів свободи
	0, 810	0, 787
	0, 847	0, 757
	0, 858	0, 716

З табл. 5.4. бачимо, що з додатковим введенням нової незалежної змінної коефіцієнти детермінації без урахування числа ступенів свободи збільшуються, з урахуванням числа ступенів свободи – зменшуються, для першої моделі, в яку включається всього одна незалежна змінна, має найбільше значення, а для третьої – з трьома незалежними змінними – найменше. Тобто для третьої моделі в результаті введення додаткової змінної зменшення величини не зможе компенсувати збільшення відношення . Зауважимо при цьому, що коефіцієнти детермінації без урахування числа ступенів свободи мають більші числові значення, ніж з урахуванням цього числа.

Приклад 6. Перевірка адекватності моделі

Обчислимо F-критерій для економетричних моделей, розглянутих у прикладі 4 (табл. 5.5).

Таблиця 5.5. Перевірка адекватності моделі

Економетрична модель		Число ступенів свободи		Знак
	0, 05		34, 24	>
	0, 05		77, 78	>
	0, 05		108, 82	>

Отже, відповідні економетричні моделі є достовірними, тобто підтверджується гіпотеза про те, що кількісна оцінка зв’язку між залежною і незалежними змінними в моделях є істотною.