Материялық нүкте динамикасының бірінші негізгі мәселесін шешу

Материялық нү ктенің қ озғ алыс заң ы белгілі болса, динамиканың бірінші мә селесін шешу оң ай. Бұ л мә селе тө мендегі ретпен шешіледі:

1.Егер мә селе шартында санақ жү йесі берілмеген болса, ол таң дап алынады.

2.Материялық нү ктеге ә сер ететін кү штер суретте кескінделеді.

3.Егер нү кте байланыста болса, ол ойша байланыстан босатылады жә не оның реакция кү штері суретте кө рсетіледі

4.Таң дап алынғ ан санақ жү йесінде материялық нү кте қ озғ алысының дифференциал тең деулері қ ұ рылады.

5.Берілген қ озғ алыс заң ынан пайдаланып, материялық нү кте ү деуінің санақ жү йесіне қ атысты проекциялары анық талады.

6.Ү деудің табылғ ан проекциялары дифференциал тең деулерге қ ойылып белгісіз кү ш анық талады.

1.7- сурет

1.1-есеп. Массасы m=2 кг болатын М дене х=10sin2t (м) заң ғ а сә йкес кү ш ә серінде тү зу сызық ты қ озғ алыста. кү ш модулінің ең ү лкен мә ні анық талсын (1.7-сурет).

Шешуі. Есеп шартына сә йкес М дене тү зу сызық ты қ озғ алыста болады. Денені материялық нү кте деп қ арастырып, санақ жү йесі ү шін О_х ө сті аламыз (1.7-сурет). М денеге тек кү ші ә сер етеді. М дене қ озғ алысының дифференциал тең деуі тө мендегідей болады:

(1.16)

Дененің қ озғ алыс заң ынан уақ ыт бойынша екінші ретті туынды аламыз:

(1.17)

(1.17)- ні (1.16)- ғ а қ ойсақ:

.

Мұ ндағ ы Ғ _х кү шінің мө лшері sin2t=-1 болғ анда ол ең ү лкен мә нге ие болады.

Демек

Ғ _х=80 H

болады.

1.2- есеп. Массасы m= 1кг болатын материялық нү кте радиусы R=2м болатын шең бер бойымен V=2t (м/с) жылдамдық пен қ озғ алады. t=1 секунд болғ ан кездегі материялық нү ктеге ә сер ететін кү штің тең ә сер етушісі табылсын (1.8-сурет)

1.8 - сурет

Шешуі. Санақ жү йесін 1.8-суреттегідей таң даймыз. Материялық нү ктенің қ озғ алысы табиғ и тә сілде берілгендіктен қ озғ алыстың дифференциал тең деулері тө мендегідей жазылады:

(1.18)

Материялық нү ктенің жылдамдығ ының ө згеру заң дылығ ынан уақ ыт бойынша туынды аламыз:

Сан мә ндерін (1.18)-ке қ ойсақ,

келіп шығ ады.

1.3-есеп. Горизонтпен бұ рыш жасайтын кө лбеу жазық тық та М массағ а ие болғ ан суы бар бак тұ р. Бактағ ы судың беті кө лбеу жазық тық қ а параллель болу ү шін кө лбеу жазық тық қ а параллель қ андай кү шімен бакты қ озғ алту керек? Бактың тү бімен кө лбеу жазық тық арасындағ ы ү йкеліс коэфиценті f -ке тең. (1.9-сурет)

1.9 -сурет

Шешуі. Бак қ озғ алысының бағ ыты кө лбеу жазық тық қ а параллель болғ андық тан, О_х ө сті 1.9- суретте кө рсетілгендей таң даймыз. Қ ойылғ ан мә селені шешу ү шін алдымен сұ йық тық бө лшегінің қ озғ алысын тексереміз. Бө лшекке ә сер ететін кү ш ауырлық кү ші жә не сұ йық тық бетіне перпендикуляр болатын қ ысым кү шінен тұ рады. Сұ йық тық беті кө лбеу жазық тық қ а параллель. Сұ йық тық бө лшегі ү шін динамиканың негізгі тең деуі

болады.

Бұ нда сұ йық тық бө лшегінің массасы ол , ол ү деуі а_s. Суы бар бактың удеуі а_х – та а_s ү деуге ие болуы керек. Демек:

(1.19)

Енді суы бар бакты А материялдық нү кте деп қ арастырайық. Бакқ а ауырлық кү ші , тарту кү ші , ү йкеліс кү ші жә не кө лбеу жазық тық тың нормал реакциясы ә сер етеді. Бак қ озғ алысы тү зу сызық ты болғ андық тан динамиканың негізгі тең деуі тө мендегідей болады:

(1.20)

Мұ ндағ ы М - суы бар бактың массасы, а_х оның ү деуі. 1.10 суреттен:

.

Бұ л жердегі F = fN. Мұ ндағ ы N ді анық тау ү шін нү кте қ озғ алысының дифференциал тең деуінің Оу ө сіне болғ ан проекциясяын тү земіз:

Ма = N - Gсоs

а_у=0 болғ андық тан N - G cоs =0; Онда N= cоs .

Сонымен, Ғ ^{ү йк} =f G cos жә не

(1.21)

(1.19) жә не (1.21)-ді (1.20)-ке қ оямыз:

(1.22)

G=Mg болғ андық тан (1.22) тө мендегі тү рге келеді:

Бұ л тең діктен Ғ = f Mg cos келіп шығ ады.

1.4–есеп. Бидай оратын комбайынның пышағ ы х=0, 55 cos 10Пt заң ғ а сә йкес тү зу сызық ты қ озғ алыста болады.(t- секунттар, х- метрлер есебінде) Пышақ ты қ озғ алысқ а ә келетін Ғ кү ші анық талсын. Пышақ тың ауырлығ ы G=100H, еркін тү су ү деуі g=10м/с² деп қ абылдансын (1.10-сурет).

1.10 - сурет

Шешуі. Мә селе шартына сә йкес пышақ тү зу сызық ты қ озғ алыста болады. Пышақ ты материялдық нү кте деп қ арастырып, санақ жү йесі ү шін О_х ө сін аламыз. Пышақ тың бастапқ ы орны О нү ктеде болсын. Пышақ қ а ауырлық кү ші , қ озғ аушы кү ш жә не реакция кү ші ә сер етеді. Онда пышақ қ озғ алысының диффренциал тең деуі тө мендегідей болады:

(1.23)

Пышақ тың қ озғ алыс заң ынан уақ ыт бойынша туынды аламыз:

(1.24)

(1.24) -ті (1.23) – ке қ ойсақ

(1.25)

келіп шығ ады.

m=G/g болғ андық тан (1.25) тө мендегідей жазылады.

Есеп шартындағ ы берілгендерді назарғ а алсақ;

келіп шығ ады.