Кинематика и динамика жидкости

Движение жидкости в разных точках потока характеризуют двумя параметрами — скоростью и давлением. Если эти параметры в каж­дой точке потока не меняются во времени, то такое движение называют установившимся. В противном случае движение будет неустановившимся. Если при установившемся движении скорость жидкости постоянна по длине потока, то это движение равномер­ное, если же скорость меняется по длине потока, то движение неравномерное.

Во время открывания водопроводного вентиля движение воды неустановившееся: увеличиваются ее расход и скорость потока в трубе. Когда вентиль открыт, движение установившееся. При уста­новившемся движении в цилиндрической водопроводной трубе

постоянного сечения движение равномерное. На расширяющемся участке трубы скорость жидкости уменьшается и движение стано­вится неравномерным.

Если поток со всех сторон ограничен стенками и при этом не имеет свободной поверхности, то такое движение называется на­порным; если свободная поверхность существует — то безнапорным. В водопроводных трубах движение напорное, а в оросительных каналах и реках — безнапорное.

Уравнение расхода. Расход — это количество жидкости, прохо­дящей через данное сечение потока в единицу времени. Жидко­сти, сжимаемостью которых в гидравлике пренебрегают, характе­ризуют объемным расходом м³/с (для газов, объем которых меняется с изменением давления, удобно использовать массовый расход G, кг/с).

В разных точках сечения трубы скорость частиц жидкости раз­лична. Для удобства расчетов вводят понятие средней скорости v потока. Этот параметр отражает некоторое фиктивное — одинако­вое во всех точках данного сечения — значение скорости.

Связь между расходом и средней скоростью потока устанавли­вает уравнение расхода:

где S — площадь сечения потока.

Если по ходу движения потока изменяется площадь сечения канала (поток расширяется или сужается), то при неизменном расходе для двух различных сечений и S₂ выполняется следую­щее соотношение:

(6.3)

Это уравнение называют уравнением неразрывности или урав­нением постоянства расхода. Оно справедливо для установивше­гося движения. Неизменность расхода в разных сечениях в этом случае обусловлена несжимаемостью жидкости, непроницаемо­стью стенок трубы и неразрывностью (сплошностью) потока.

Из уравнения (6.3) следует, что средние скорости потока в разных сечениях обратно пропорциональны значениям площади сечений

При расширении потока его средняя ско­рость уменьшается, и наоборот. Именно поэтому малое сечение насадки на конце гибкого рукава позволяет пожарным создать большую скорость струи и тем самым увеличить дальность ее вы­броса.

Режимы течения жидкостей. В 1882 г. английский ученый О. Рей­нольдс проделал опыты, которые показали, что движущаяся жид­кость характеризуется двумя режимами течения. Суть опытов со­стояла в том, что в поток жидкости в прозрачной трубе Рейнольдс добавлял тонкую струйку подкрашенной жидкости. Поведение этой

струйки в разных опытах было неодинаковым. При малой скоро­сти потока жидкости структура и форма струйки сохранялись не­изменными вдоль потока; частицы в разных слоях двигались па­раллельно друг другу. Такой режим течения называют ламинарным. Увеличение скорости жидкости приводило к тому, что в потоке появлялись вихри, и подкрашенная струйка размывалась. Такой режим течения жидкости был назван турбулентным.

Рейнольдс установил, что на состояние движущейся жидкости влияют такие физические величины, как скорость потока v, диа­метр трубы d, плотность р и вязкость жидкости. Комплекс этих величин образует число Рейнольдса:

Это безразмерный показатель, по значению которого можно судить о режиме течения жидкости в том или ином случае. Если число Рейнольдса меньше 2320, то режим течения ламинарный; если оно больше этого критического значения, то режим турбу­лентный.

Уравнение Бернулли. Рассмотрим частицу жидкости, находя­щуюся в некотором сечении потока. Ее полная энергия представ­ляет собой сумму потенциальной и кинетической энергии. Первая составляющая потенциальной энергии соответствует работе, за­траченной на подъем частицы весом mg, находящейся в поле сил тяжести, на высоту z над плоскостью сравнения О — О. Это потен­циальная энергия положения.

Вторая составляющая потенциальной энергии связана с гид­ростатическим давлением, создающим напряжение сжатия в рас­сматриваемой частице. Если в жидкость поместить пьезометриче­скую трубку, то данная частица под действием сжимающего уси­лия будет вытеснена на высоту (пьезометрическую высоту). При этом она получит потенциальную энергию, эквивалентную рабо­те в поле сил тяжести. Это потенциальная энергия давления.

Полная потенциальная энергия частицы весом mg может быть представлена в виде

Кинетическая энергия частицы массой т

Е_к = mv²/2.

Суммарная энергия частицы жидкости в некотором сечении потока

(6.4)

Энергия потока в этом сечении в целом будет суммой энергий всех частиц жидкости, протекающих через данное сечение. Для
сравнения составных частей энергии, входящих в уравнение (6.4) в разных сечениях потока используют понятие удельной энергии — энергии, отнесенной к единице веса жидкости. Для получения удельной энергии частицы массой т разделим ее полную энергию Е на вес:

E / (mg) = z + p / (pg) + v²/ (2g),

где z — удельная потенциальная энергия положения; p/(pg) — удельная потенциальная энергия давления; v²/(2g) — удельная кинетическая энергия (скоростной напор).

Эта формула справедлива и для всего потока.

Из закона сохранения энергии следует, что удельная энергия по длине потока не меняется:

z + p / (pg) + v²/(2g) = const. (6.5)

Уравнение (6.5) называют уравнением Бернулли. При его выводе использовано представление об идеальной (не имеющей вязко­сти) жидкости. Кроме того, это уравнение справедливо при сле­дующих допущениях: жидкость однородна и несжимаема, ее дви­жение установившееся, из всех массовых сил на нее действует только сила тяжести (жидкость движется в поле сил тяжести). Именно такие условия характерны для большинства производ­ственных технологических процессов.

Обычно уравнение Бернулли записывают для двух сечений (1 — 1 и 2—2) данного потока в следующем виде:

На рис. 6.7 приведена геометрическая интерпретация уравне­ния Бернулли.

Значения высоты частицы жидкости над плоскостью сравне­ния О — О — это геометрические напоры и - Существуют техни­ческие средства для наблюдения и измерения величин, представ­ленных и другими слагаемыми уравнения Бернулли.

Пьезометрические напоры и можно измерить с помощью пьезометрических трубок: их встраивают в поток жид­кости, причем открытый конец такой трубки, воспринимающей давление в потоке, должен быть направлен перпендикулярно на­правлению движения жидкости.

Если же в сечения потока жидкости ввести вертикальные труб­ки, один конец которых изогнут навстречу потоку, то кинетиче­ская энергия частиц, набегающих на открытые концы трубок, пре­образуется в, потенциальную энергию давления, под действием которого жидкость в этих трубках поднимется выше, чем в пьезо­метрических. Это повышение высоты жидкости называют скорост­ным напором. Наблюдаемая разница уровней жидкости соответ­ствует удельной кинетической энергии и . Такая

Рис. 6.7. Геометрическая интерпретация уравнения Бернулли: О —О — плоскость сравнения; 1—1, 2—2 — сечения потока жидкости; — геометрические напоры; , — пьезометрические напоры , — скоростные напоры; — потерянный напор; АА', АВ — линии полно­го напора соответственно для идеальной и реальной жидкостей

Г-образная трубка называется трубкой Пито или трубкой полного напора (в XVIII в. французский инженер А. Пито применил ее для измерения скорости воды в канале).

Для идеальной жидкости сумма трех отрезков в обоих сечениях одинакова. В этом случае линия полного напора АА' горизонтальна.

В реальной, вязкой жидкости при ее движении от сечения 1—1 до сечения 2 — 2 часть энергии потока затрачивается на преодо­ление сил трения, тормозящих движение. Удельная энергия в сечении 2— 2 станет меньше на величину потерь удельной энер­гии. В действительности энергия не пропала и закон сохранения энергии не нарушен: часть механической энергии преобразова­лась во внутреннюю энергию жидкости — тепловую энергию. Дру­гими словами, жидкость нагрелась за счет трения. Потерянную часть удельной энергии — потерянный напор — обозначают сим­волом .

Уравнение Бернулли для потока реальной жидкости имеет вид

Для реальной жидкости линия полного напора с учетом его потерь будет наклонной — это линия АВ на рис. 6.7. Уравнение (6.6) находит широкое практическое применение при расчетах реальных потоков жидкости в трубопроводах.