Регрессионный анализ

Для характеристики формы связи при изучении корреляционной зависимости пользуются уравнением регрессии. Задача ставится таким образом: по данной выборке объема n найти уравнение регрессии и оценить допускаемую при этом ошибку. Для простоты и более легкого освоения методики регрессионного анализа предположим (на первых порах), что при проведении парного линейного регрессионного анализа имеем дело только с уравнением прямой линии.

Уравнение прямой на плоскости в декартовых координатах:

(3.4)

Для определения линии регрессии необходимо непременно статистически оценить коэффициент регрессии b₁ и постоянное число b₀.

Для этого должны быть удовлетворены два следующих условия:

1. Линия регрессии должна проходить через точку с координатами () средних значений x и y.

2. Сумма квадратов отклонений от линии регрессии вдоль оси Oy должна быть наименьшей:

(наименьшее значение) (3.5)

Если в эту формулу подставим значение , то получим:

(3.6)

Для решения этой задачи необходимо в каждом конкретном случае вычислить значение коэффициентов b₀ и b₁, минимизирующих сумму отклонений U. Для этого, как известно из математического анализа, необходимо вычислить частные производные функции U по коэффициентам b₀ и b₁ и приравнять их к нулю:

(3.7)

(3.8)

Следовательно, прямая линия регрессии определяется формулами:

(3.9)

(3.10)

Если выражение из формулы (3.9) подставить в формулу (3.10), то получим:

= (3.11)

Отсюда выразим b₁:

(3.12)

(3.13)

Для проверки значимости уравнения регрессии используют

F- критерий. Для этого определяют общую дисперсию s_y² и остаточную s²_ост:

(3.14)

(3.15)

и определяют их отношение (3.16)

Если F₀ > F_{n-1, n-2, a}, то уравнение статистически значимо описывает результаты экспериментов.