Теорема об изменении количества движения.

Рассмот­рим систему, состоящую из п материальных точек. Составим для этой системы дифференциальные уравнения движения и сложим их почленно. Тогда получим:

.

Последняя сумма по свойству внутренних сил равна нулю. Кроме того,

Окончательно находим:

.

Уравнение выражает теорему об изменении коли­чества движения системы в дифференциальной форме: производная по времени от количества движения системы равна геометрической сумме всех действующих на систему внешних сил. В проекциях на координатные оси будем иметь:

Найдем другое выражение теоремы. Пусть в момент количество движения системы равно , а в момент становится равным . Тогда, умножая обе части равенства на dt и интегрируя, получим:

или

так как интегралы, стоящие справа, дают импульсы внешних сил.

Уравнение выражает теорему об изменении количества движения системы в интегральной форме: изменение количества движения системы за некоторый промежу­ток времени равно сумме импульсов действующих на систему внешних сил за тот же промежуток времени.

В проекциях на координатные оси будем иметь:

Укажем на связь между доказанной теоремой и теоремой о дви­жении центра масс. Так как то, подставляя это значение в равенство и учитывая, что , мы получим .

Следовательно, теорема о движении центра масс и теорема об изменении количества движения системы представляют собой, по существу, две разные формы одной и той же теоремы. В тех случаях, когда изучается движение твердого тела (или системы тел), можно в равной мере пользоваться любой из этих форм.

Практическая ценность теоремы состоит в том, что она позволяет исключить из рассмотрения наперед неизвестные внутренние силы (например, силы давления друг на друга частиц жидкости).

УДАР ТЕЛА О НЕПОДВИЖНУЮ ПРЕГРАДУ

Рассмотрим тело (шар) массой M, ударяющееся о неподвижную плиту.

Действующей на тело ударной силой будет при этом реакция плиты; импульс

этой силы за время удара назовем

S. Пусть нормаль к поверхности тела в

точке его касания с плитой проходит через центр масс тела (для шара это

будет всегда). Такой удар тела называется центральным. Если скорость v

центра масс тела в начале удара направлена по нормали n к плите, то удар

будет прямым, в противном случае -- косым.

. Случаи прямого удара.

Составляя в этом случае уравнение (154) в

проекции на нормаль n (см. рис. 375) и учитывая, что Q0 = M v, a Q0 = M u,

получим

M (un - vn) = Sn.

Но при прямом ударе un = u, vn = -v, Sn = S. Следовательно,

M (u + v) = S.

Второе уравнение, необходимое для решения задачи, дает равенство

u = kv.

Из полученных уравнений, зная M, v, k, найдем неизвестные величины u и

S. При этом

S = M (1 + k)v.

Как видим, ударный импульс будет тем больше, чем больше коэффициент

восстановления k. На эту зависимость S от k и было указано в 153.

Чтобы определить среднюю величину ударной силы (реакции), надо до-

полнительно знать время удара, которое можно найти экспериментально.

Пример

. При падении стального шара массой m = 1 кг с высоты H = 3

м на стальную плиту (k = 0, 56) получим v = √ 2gH ≈ 7, 7м/с и u = kv = 4, 3

м/с. Ударный импульс S = mv(1 + k) ≈ 12Нс. Если время удара = 0, 0005c,

то средняя величина ударной реакции N

уд

ср = S/ = 24000Н.

2. Случаи косого удара.

Пусть в этом случае скорость v центра масс

тела в начале удара образует с нормалью к плите угол, а скорость u в

конце удара -- угол (рис. 377)

Тогда уравнение (154) в проекциях на касательную и нормаль n даст

M (u - v) = 0, M(un - vn) = S.

Коэффициент восстановления в данном случае равен отношению: модулей

|un| и |vn|, так как удар происходит только по направлению нормали к по-

верхности (влиянием трения пренебрегаем). Тогда с учетом знаков проекций

получим un = -kvn. В результате окончательно находим:

u = v, un =

-kvn, S = M|vn|(1 + k).

Из полученных уравнений можно найти модуль и направление скорости в

конце удара и ударный импульс, если величины M, V,, и k известны. В

частности, из первого равенства, замечая, что v = |vn|tg и u = |un|tg,

получаем

|un|tg = |vn|tg,

откуда

k = |un|/|vn| = tg / tg.

Следовательно, при косом ударе отношение тангенса угла падения, к тан-

генсу угла отражения равно коэффициенту восстановления. Так как k < 1,

то <, т. е, угол падения всегда меньше угла отражения