Возможные перемещения. Классификация связей.

При изучении равновесия системы тел методами так называемой геометрической статики приходится рассматривать равновесие каждого из тел в отдельности, заменяя наложенные связи соответствующими наперед неизвестными реакциями. Когда число тел в системе велико, этот путь становится весьма громоздким и связан с необходимостью решать большое число уравнений со многими неизвестными.

Отличительная особенность метода, вытекающего из принципа возможных перемещений, состоит в том, что при его применении эффект действия связей учитывается не путем введения неизвестных наперед реакций, а путем рассмотрения перемещений, которые можно сообщить точкам системы, если вывести систему из занимаемого ею положения. Эти перемещения называют в механике возможнымиперемещениями.

Рассмотрим возможные перемещения точки М на стержне, прикрепленном к неподвижной поверхности шарниром О (рис.64, а). Конечно, стержень позволяет точке двигаться по сферической поверхности в любом направлении и на любое расстояние. Все эти перемещения возможны. Возможно, кстати, перемещение и вниз. Но такое перемещение не стоит называть возможным, потому что нарушается связь, стержень.

Кроме того, возможным перемещением будем называть только малое перемещение, настолько малую часть траектории, что ее можно заменить прямой, отрезком касательной.

Теперь можно сформулировать определение возможного перемещения.

Возможным перемещением точки материальной системы будем называть ее бесконечно малое перемещение, допускаемое связями этой системы.

Возможные перемещения точек системы должны удовлетворять двум условиям:

1) они должны быть бесконечно малыми, так как при конечных перемещениях система перейдет в другое положение, где условия равновесия могут быть другими;

2) они должны быть такими, чтобы при этом все наложенные на систему связи сохранялись, так как иначе мы изменим, вид рассматриваемой механической системы (системастанет другой).

Например, для кривошипно-шатунного механизма, изображенного на рис.63 перемещение точек кривошипа ОА в положение ОА ₁ нельзя рассматривать как возможное, так как в этом положении условия равновесия механизма под действием сил и будут уже другими. Точно так же нельзя считать возможным даже бесконечно малое перемещение точки В шатуна вдоль линии BD; оно было бы возможным, если в точке В вместо ползуна была бы качающаяся муфта, т.е. когда механизм был бы другим.

Рис. 63

Таким образом, возможным перемещением системы мы будем называть любую совокупность бесконечно малых перемещений точек системы, допускаемых в данный момент всеми наложенными на систему связями. Возможное перемещение любой точки системы будем изображать элементарным вектором , направленным в сторону перемещения.

В общем случае для точек и тел системы может существовать множество возможных различных перемещений (перемещения и мы не считаем разными). Однако для каждой системы, в зависимости от характера наложенных на нее связей, можно указать определенное число таких независимых между собой перемещений, что всякое другое возможное перемещение будет получаться как геометрическая сумма. Например, шарик, лежащий на какой-нибудь плоскости (или поверхности), можно переместить вдоль этой плоскости по множеству направлений. Однако любое его возможное перемещение можно получить как сумму двух перемещений и вдоль лежащих в этой плоскости взаимно перпендикулярных осей ( ).

Число независимых между собою возможных перемещений системы называется числом степеней свободы этой системы.Так, рассмотренный выше шарик на плоскости (или на поверхности), если его считать материальной точкой, имеет 2 степени свободы. У кривошипно-шатунного механизма будет, очевидно, одна степень свободы.

У свободной материальной точки – 3 степени свободы (независимыми будут 3 перемещения вдоль взаимно перпендикулярных осей). Свободное твердое тело имеет 6 степеней свободы (независимыми перемещениями будут: 3 поступательных перемещения вдоль осей координат и 3 вращательных вокруг этих осей).

К этому следует добавить несколько замечаний.

Первое. Само название таких перемещений показывает, что они только возможны, но не обязательны; что этих перемещений из данного положения системы может быть много; что среди них только одно есть действительное (Если связи – не стационарные, изменяются с течением времени, то действительное перемещение может не быть одним из возможных); что эти перемещения происходят не под действием сил, приложенных к системе, а, так сказать, по нашему желанию.

Второе. За счет малости таких перемещений направляются они по касательной к траектории и имеют, таким образом, направление, совпадающее с вектором скорости. Эту скорость в данном случае также называют возможной скоростью, а не действительной.

Третье. При наличии связей между точками материальной системы, возможные перемещения этих точек связаны между собой определенными зависимостями, уравнениями связей.

На рис.64 дано несколько примеров возможных перемещений точек некоторых материальных систем.

Из этих примеров следует, что возможным перемещением всего тела, вращающегося вокруг оси, является малый угол поворота . И возможные перемещения точек его можно определить с помощью этого угла. Так, например, ; ;

Так как направления возможных перемещений имеют направления скоростей, то перемещения точек звена АВ (рис.64, в) определяются с помощью мгновенного центра скоростей этого звена. А возможное перемещение всего тела при плоскопараллельном движении – есть поворот на малый угол вокруг оси, проходящей через мгновенный центр скоростей. Этот угол можно определить.

Так как , то а перемещение ползуна В: и точки С: . То есть перемещения всех точек механизма можно определить через одно возможное перемещение, перемещение звена ОА, через угол .

Аналогично, поворотом на малый угол вокруг мгновенного центра скоростей , определяются возможные перемещения точек колеса, которое может катиться без скольжения понеподвижной прямой (рис.64, г).

Работу сил, приложенных к материальной системе, на возможном перемещении будем называть возможной работой.

Если рассмотреть различные типы материальных систем, можно обнаружить, что элементарная работа реакций многих связей на возможном перемещении окажется равной нулю. Такие связи, сумма возможных работ реакций которых на любом возможном перемещении равна нулю, называются идеальными связями. К таким связям относятся, например, все связи без трения.

Связи, которые не изменяются со временем, называются стационарными.

Есть связи, которые называют или удерживающими, или односторонними, в зависимости от того препятствуют они перемещению точки во взаимно противоположных направлениях или только в одном.

У некоторых материальных систем встречаются и довольно сложные связи, ограничивающие или только положение системы, координаты ее точек, или еще и скорость их, производные от координат по времени. Первые называют голономными, геометрическими, связями; вторые – неголономными, кинематическими, неинтегрируемыми. Мы в дальнейшем будем рассматривать системы только с голономными связями.

Число степеней свободы.

В механике, степени свободы — это совокупность независимых координат перемещения и/или вращения, полностью определяющая положение системы или тела (а вместе с их производными по времени — соответствующими скоростями - полностью определяющая состояние механической системы или тела - то есть их положение и движение). Это фундаментальное понятие применяется в теоретической механике, теории механизмов и машин, машиностроении, авиации и теории летательных аппаратов, робототехнике и других областях.

В отличие от обычных декартовых или какого-то другого типа координат, такие координаты в общем случае называютсяобобщёнными координатами (декартовы, полярные или какие-то другие конкретные координаты являются, таким образом, частным случаем обобщённых). По сути речь идет о минимальном наборе чисел, который полностью определяет текущее положение (конфигурацию) данной системы.

Требование минимальности этого набора или независимости координат означает, что подразумевается набор координат, необходимый для описания положения системы лишь при возможных движениях (например, если рассматривается математический маятник, подразумевается, что его длина не может меняться, и таким образом координата, которая характеризует расстояние от груза до точки подвеса не является его степенью свободы, т.к. не может меняться - то есть количество степеней свободы математического маятника в пространстве 2, а такого же маятника, могущего двигаться только в одной плоскости, 1; им соответствуют углы отклонения маятника от вертикали).

В случае, когда рассматривается система со связями (точнее говоря, с удерживающими связями), количество степеней свободы механической системы меньше, чем количество декартовых координат всех материальных точек системы, а именно:

где n - количество степеней свободы, N - количество материальных точек системы, nlink - количество удерживающих связей за исключением избыточных[1].

Количество степеней свободы зависит не только от природы реальной системы, но и от модели (приближения) в рамках которых система изучается. Даже в приближении классической механики (в которых в целом и написана данная статья) если отказаться от использования дальнейших приближений, упрощающих задачу, количество степеней свободы любой макроскопической системы окажется огромным. Поскольку связи не бывают абсолютно жесткими (т.е. на самом деле их можно рассматривать как связи лишь в рамках определенного приближения), то настоящее количество степеней свободы механической системы можно оценить как минимум как утроенное количество атомов (а в приближении сплошной среды - как бесконечное). Однако на практике используют приближения, позволяющие радикально упростить задачу и уменьшить количество степеней свободы при рассмотрении системы, поэтому в практических расчетах количество степеней свободы - конечное, обычно достаточно небольшое, число.

Так, приближение абсолютно твердого тела, являющееся примером жесткой связи, наложенной на каждую пару материальных точек тела, сводит количество степеней свободы твердого тела до 6. Рассматривая системы, состоящие из небольшого количества твердых тел, рассматриваемых в этом приближении, имеют, таким образом, небольшое количество степеней свободы, к тому же еще, вероятно, уменьшаемое наложением дополнительных связей (соответствующих шарнирам итп).

Этот механизм Чебышеваимеет только одну степень свободы, так как его положение полностью определяется углом поворота одного (любого) из трёх подвижных звеньев — L2, L3 или L4.

Твёрдое тело, движущееся в трёхмерном пространстве, максимально может иметь шесть степеней свободы: три поступательных и три вращательных.

Автомобиль, если его рассматривать как твёрдое тело, перемещается по плоскости, а точнее говоря, по некоторой двумерной поверхности (в двумерном пространстве). Он имеет три степени свободы (одну вращательную, и две поступательные).

Поезд вынужден перемещаться по рельсовому пути, и поэтому он имеет только одну степень свободы.

Движение и размерностиВ общем случае твёрдое тело в d измерениях имеет d(d + 1)/2 степеней свободы (d поступательных и d(d − 1)/2 вращательных).

Твердые тела. Деформируемые тела

Кинематика самолёта: помимо трёх поступательных, самолёт имеет и три вращательные степени свободы (показаны на рисунке)

Упругие или деформируемые тела можно рассматривать как систему множества мельчайших частиц (бесконечное число степеней свободы; в этом случае систему часто приближённо рассматривают как имеющую ограниченное число степеней свободы.

Если основным объектом анализа является движение, вызывающее большие перемещения, то для упрощения расчётов деформируемое тело приближённо рассматривают как абсолютно твёрдое, а иногда и как материальную точку. Например, если исследуется движение детали механизма, совершающей значительные перемещения, можно в главном приближении (и с хорошей точностью) рассматривать деталь как абсолютно твердое тело (при необходимости внеся затем, когда основное движение уже вычислено, поправки, связанные с ее небольшими деформациями), особенно это верно, если исследуется, например, движение спутников по орбите, а если не рассматривать ориентацию спутника, то достаточно считать его материальной точкой - т.е. ограничиться описанием спутника тремя степенями свободы.

Определение количества степеней свободы плоских механизмов: m — количество степеней свободы; n — количество звеньев механизма (включая одно неподвижное звено); f — количество подвижных соединений звеньев

Большинство обычных механизмов имеют одну степень свободы, то есть, имеется одно входное движение, определяющее одно выходное движение. Кроме того, большинство механизмов являются плоскими. Пространственные механизмы более сложны для расчётов.

Для расчётов степеней свободы механизмов применяется формула Чебышева — Граблера — Кутцбаха (англ.).

В наиболее простом виде для плоских механизмов эта формула имеет вид:

, где

— количество степеней свободы;

— количество звеньев механизма (включая одно неподвижное звено — основание);

— количество кинематических пар с одной степенью свободы (петлевое или скользящее соединение);

В более общем виде формула Чебышева — Граблера — Кутцбаха для плоских механизмов, содержащих более сложные соединения звеньев:

, где

Простые механизмы способны создавать сложное движение

Или для пространственного механизма (механизма, имеющего трёхмерное движение):

— количество степеней свободы;

— количество звеньев механизма (включая одно неподвижное звено — основание);

— общее количество подвижных соединений звеньев, не рассматривая количество степеней свободы этих соединений;

— сумма всех степеней свободы всех подвижных соединений (шарниров).

[править]Гидропривод

Количество степеней свободы гидравлической системы может быть определено простым подсчётом количества независимо управляемых гидродвигателей.

[править]Электротехника

В электротехнике понятие «степени свободы» часто используется для описания количества направлений, в которых фазированная антенная решётка может проектировать свои лучи. Оно на единицу меньше, чем количество элементов, содержащихся в решётке.

[править]Принцип возможных перемещений

В теоретической механике известен принцип возможных перемещений, который также, как и уравнения равновесия статики, позволяет находить внешние силовые воздействия, действующие на механическую систему. Количество уравнений, составленных, исходя из принципа возможных перемещений, равно количеству степеней свободы данной механической системы.

[править]Степени свободы молекулы

Основная статья: Степени свободы (физика): Степени свободы молекулы

Формула внутренней энергии газа:

,

где

— количество степеней свободы молекулы газа,

— масса газа,

— молярная масса газа,

— универсальная газовая постоянная,

— абсолютная температура газа,

- включает количество степеней свободы молекулы.

Эта формула важна для расчётов, например, двигателей внутреннего сгорания.