Раздел 5. Статическое распределение выборки.

Раздел 1. Основные понятия и теоремы теории вероятностей

1. Задания для самостоятельной работы

1. Изучить теоретический материал по теме «Элементы комбинаторики» по вопросам:

1.1. Основные формулы и правила комбинаторики

1.2. Комбинации-перестановки

1.3. Комбинации-размещения

1.4. Комбинации сочетания

2. Изучить теоретический материал по темам «Достоверные, невозможные, случайные события. Алгебра событий. Теоремы умножения вероятностей для независимых и зависимых событий. Полная группа событий. Формула полной вероятности. Формула Байеса. Повторные независимые испытания. Формула Бернулли» по вопросам:

1.1. Алгебра событий. Виды случайных событий

1.2. Аксиоматическое определение вероятности. Вероятностное

пространство

1.3. Классическая схема вычисления вероятности

1.4. Теоремы сложения и умножения вероятностей

1.5. Формула полной вероятности

1.6. Формулы Байеса

1.7. Схема независимых повторных испытаний

1.8. Закон больших чисел

2. Выполнить задания:

Задача №1

Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, если каждая цифра входит в изображение числа только один раз?

Задача №2

Сколько можно составить сигналов из шести флажков различного цвета, взятых по 2?

Задача №3

Сколькими способами можно выбрать две детали из ящика, содержащего 10 деталей?

Задача №4

Студент ищет формулу в трех справочниках. Пусть – событие, означающее, что нужная формула содержится в i -м справочнике. Выразить через следующие события:

– формула содержится только в одном справочнике;

– формулы нет ни в одном справочнике;

– формула содержится хотя бы в одном справочнике.

Задача №5

Брошены 2 игральные кости. Описать пространство элементарных событий этого эксперимента и найти вероятности следующих событий:

а) сумма выпавших очков равна 8;

б) сумма очков равна 6, а произведение 9;

в) сумма очков не превышает 5;

г) разность очков меньше 2;

д) сумма очков расположена в промежутке [4; 10].

Задача №6

В ящике имеется 16 деталей, среди которых 4 бракованные. Сборщик наудачу извлекает 3 детали. Найти вероятность того, что:

а) извлеченные детали качественные;

б) среди извлеченных деталей 2 бракованные.

Задача №7

Вероятность возникновения трещин в железобетонных формах в процессе их изготовления равна 0, 1. Если трещина образовалась, то форма бракуется с вероятностью 0, 9. Найти вероятность того, что две наудачу выбранные формы не будут забракованы.

Задача №8

Рабочий обслуживает три станка. Вероятность того, что в течение часа станок потребует внимания рабочего для 1-го станка равна 0, 25, для 2-го – 0, 4, для 3-го – 0, 15. Найти вероятность того, что внимания рабочего потребуют точно два станка.

Задача №9

Вероятность попадания стрелком в мишень при одном выстреле равна 0, 8. Найти вероятность того, что при 4 выстрелах стрелок попадает:

а) не более одного раза,

б) ни одного раза,

в) хотя бы один раз.

Задача №10

В первой урне содержится 11 шаров, из них 6 белых. Во второй урне содержится 19 шаров, из них 4 белых. Из первой урны наудачу извлекли один шар и переложили во вторую. Найти вероятность того, что извлеченный после этого шар из второй урны окажется белым.

Задача №11

Пассажир берет билет в одной из трех касс с вероятностями: 0, 3; 0, 2; 0, 5. Вероятности того, что билеты к моменту прихода пассажира будут в кассе распроданы равны соответственно 0, 3; 0, 15; 0, 2. Пассажир направился в одну из касс и купил билет. Найти вероятность того, что это была первая касса.

Задача №12

В каждом из 400 независимых повторных испытаний событие происходит с вероятностью 0, 8. Найти вероятность того, что событие произойдет:

а) не менее 300 раз, б) более 240 раз, в) не менее 270 и не более 350 раз.

II. Контрольные вопросы для самопроверки

1. Какие комбинации по m элементов, составленные из n различных элементов называют размещениями, а какие – сочетаниями?

2. Какой формулой определяется число сочетаний?

3. Как найти число перестановок из n элементов?

4. Какие виды случайных событий вы знаете?

5. Какой формулой определяется вероятность события при классическом определении?

6. Каковы основные свойства вероятности?

7. Какой формулой определяется вероятность суммы совместных событий?

8. Что такое условная вероятность?

9. По какой формуле вычисляют вероятность произведения независимых событий?

10. Какое равенство называют формулой полной вероятности?

11. По каким формулам можно переоценить вероятности гипотез после проведения испытания, в результате которого событие А появилось?

12. Как вычислить вероятность того, что в n испытаниях событие А осуществляется к раз и не осуществляется n – к раз?

Раздел 2. Случайные величины и их законы распределения.
Числовые характеристики случайных величин

1. Задания для самостоятельной работы

1. Изучить теоретический материал по темам «Случайная величина. Дискретная случайная величина (д.с.в.). Ряд распределения дискретной случайной величины. Функция распределения случайной величины и ее свойства. Математическое ожидание и дисперсия, их свойства, среднее квадратическое отклонение; моменты случайных величин: начальные, центральные моменты; мода, медиана, квантили. Некоторые законы распределения д.с.в.: геометрическое распределение, биноминальное распределение, распределение Пуассона. Непрерывная случайная величина (н.с.в.): плотность распределения и ее свойства. Некоторые законы распределения н.с.в.: равномерное распределение, нормальное, экспоненциальное распределение» по вопросам:

1.1. Закон распределения д.с.в.

1.2. Законы биноминальный и Пуассона

1.3. Числовые характеристики д.с.в., их свойства

1.4. Функция распределения вероятностей случайной величины

1.5. Плотность распределения вероятностей н.с.в, ее свойства

1.6. Числовые характеристики н.с.в.

1.7. Нормальное распределение

2. Выполнить задания:

Задача №1

Найти , если с.в. имеет следующий закон распределения:

	-7	-2
	0, 1	0, 3	0, 25

Задача №2

Цех изготовил 100 изделий. Вероятность того, что наугад взятое изделие бракованное равна 0, 03. Составить закон распределения случайной величины – числа бракованных изделий, пренебрегая теми значениями , вероятность которых меньше 0, 007. Найти .

Задача №3

Дана плотность распределения абсолютно непрерывной случайной величины :

.

Найти . Построить графики .

Задача №4

С.в. распределена по нормальному закону с плотностью

.

Найти .

Задача №5

Прибор производит измерение диаметра детали без систематических ошибок. Случайные ошибки измерения подчинены нормальному закону со средним квадратичным отклонением мм. Какова вероятность того, что измерение будет произведено с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине 10 мм.

II. Контрольные вопросы для самопроверки

1. Чем отличается дискретная случайная величина от непрерывной?

2. Какие способы задания дискретной случайной величины вы знаете?

3. Какая асимптотическая формула используется для случая малых значений р и больших значений n в серии n проводимых повторных испытаниях?

4. Что характеризует математическое ожидание случайной величины?

5. Какой формулой определяется математическое ожидание д.с.в.?

6. Как определяется дисперсия случайной величины? Что она характеризует?

7. Каковы основные свойства математического ожидания и дисперсии?

8. Что такое плотность н.с.в?

9. Каковы основные свойства функции распределения?

10. Как называется распределение вероятностей, если на интервале возможных значений случайной величины плотность распределения является постоянной?

11. Как определяется математическое ожидание для н.с.в.?

12. Каков вероятностный смысл параметров нормального распределения?

13. В чем заключается «правило трех сигм»?

Раздел 5. Статическое распределение выборки.

1. Задания для самостоятельной работы

1. Изучить теоретический материал по темам «Генеральная и выборочная совокупности. Вариационные ряды: дискретные и интервальные. Оценка функции распределения и плотности распределения: эмпирическая функция распределения, гистограмма, полигон, кумулятивная кривая» по вопросам:

1.1. Генеральная и выборочная совокупности

1.2. Статистическое распределение выборки

1.3. Полигон и гистограмма

1.4. Несмещенные, эффективные и состоятельные оценки

1.5. Выборочная средняя

1.6. Выборочная дисперсия

2. Выполнить задания:

Задача 1

В ходе эксперимента получены данные наблюдений:

Для данной выборки выполнить следующее:

· Построить эмпирическую функцию распределения;

· Вычислить числовые характеристики выборки (мода, медиана, выборочное среднее, выборочная дисперсия, среднее квадратическое отклонение, начальные и центральные моменты);

· Определить тип распределения (симметричный – асимметричный, плосковершинный – островершинный).

Раздел 6. Статистическое оценивание: точечные и интервальные оценки.

1. Задания для самостоятельной работы

1. Изучить теоретический материал по темам «Точечные оценки параметров распределения. Интервальные оценки параметров распределения, доверительная вероятность. Интервальные оценки числовых характеристик, в случае нормально распределенной генеральной совокупности и выборки большого объема» по вопросам:

1.1. Несмещенные, эффективные и состоятельные оценки

1.2. Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального распределения при известном s

1.3. Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального распределения при неизвестном s

2. Выполнить задания:

Задача 1

Из генеральной совокупности извлечена выборка.

Найти несмещенные оценки генерального среднего и генеральной дисперсии.

Задача 2

В результате проведенных наблюдений получена выборка, ряд распределения которой имеет вид:

Считая, что генеральная совокупность имеет нормальное распределение, найти доверительные интервалы для ее математического ожидания и среднего квадратического отклонения с надежностью 0, 95.