Случайная векторная величина двух измерений

На практике решаются задачи, в которых результат опыта описывается не одной с.в., а двумя или более с.в., образующими систему. При этом свойства системы нескольких с.в. могут включать и взаимные связи (зависимости) между ними.

Если с.в. X и Y принимают дискретные значения x _i, y _j и каждой паре значений (x _i, y _j) соответствует определенная вероятность p _ij, то можно составить таблицу распределения вероятностей дискретной двумерной с.в.

Очевидно .

Значение функции Р(x, y) равно вероятности обнаружить с.в. Х< х и с.в. Y< y, т.е.

P(x, y)=Prob(X< x, Y< y).

Свойства функции распределения Р(x, y):

1) Р(х, y) - неубывающая функция своих аргументов,

т.е. при х₂> x₁ P(x₂, y)> P(x₁, y) или при y₂> y₁ P(x, y₂)> P(x, y₁);

2) P(x, -¥)=P(-¥, y)=P(-¥, -¥)=0;

3) P(x, +¥)=P(x), P(+¥, y)=P(y) - если один из аргументов равен +¥, то функция распределения Р(х, y) превращается в функцию распределения другой с.в.;

4) P(+¥, +¥) =1.

Плотность распределения системы двух с.в. (вторая смешанная производная P(x, y) по и затем по ).

(25.3)º (15.3)

или в общем виде

, .

Геометрически p(x, y) можно представить поверхностью (поверхность распределения - по ОХ и OY откладываются значения с.в. X и Y, по Z - вероятность их появления, см. рис.).

Из (25) следует

(26.3)º (17.3).

Вероятность обнаружить двумерную с.в. (X, Y) в области D:

Prob((X, Y)Ì D) = (27.3)=(16.3).

Вероятность обнаружить точку М с координатами х ₁, х ₂,... х _n в n -мерном объеме V:

Prob(MÌ V)= (27¢.3)

Далее, аналогично (18)

(28.3),

т.е. геометрически объем под поверхностью распределения равен 1.

В общем виде имеем n -кратный интеграл

(28¢.3).

Если известен закон распределения системы двух случайных величин p(x, y), то можно определить законы распределения отдельных величин, входящих в систему:

(29.3).

То же, в общем виде:

(29¢.3).

Но для того, чтобы по заданным законам распределения отдельных с.в., входящих в систему, определить законы распределения системы с.в., надо знать зависимость между величинами, входящими в систему.

Условный закон распределения с.в. Х, входящей в систему (X, Y) - закон ее распределения, вычисленный при условии, что другая с.в. Y приняла определенное значение. Условный закон распределения можно задавать функцией P(x/y) и плотностью p(x/y) распределения.

Геометрически функция плотности распределения p(x/y) представляет собой сечение поверхности распределения при y=const. Сечения поверхности распределения плоскостями x=const и y=const дают соответственно условные плотности распределения p(y/x) величины Y при определенных значениях x и условные плотности распределения p(x/y) величины X при определенных значениях y. Если X и Y - зависимые с.в., то кривые плотности распределения p(y/x) изменяются при изменении x, а кривые плотности распределения p(x/y) изменяются при изменении y. М.о. этих кривых при таких изменениях образуют линии регрессии 1 и 2. В случае независимости X и Y линии регрессии представляют собой прямые и , параллельные осям координат. При наличии функциональной связи (а не стохастической) между X и Y обе линии регрессии сливаются в одну - y=y(x), при этом поверхность плотности распределения может быть заменена кривой плотности распределения X или Y вдоль линии y=y(x).

С учетом вышесказанного плотность распределения системы двух с.в. равна плотности распределения одной из них, умноженной на условную плотность распределения другой величины, вычисленную при условии, что первая величина приняла заданное значение:

p(x, y)=p(x)p(y/x) (30.3)=(7.2)

или в общем случае

p(x₁, x₂,..., x_n)=p(x₁, x₂,..., x_i/x_i+1, x_i+2,..., x_n)p(x_i+1, x_i+2,..., x_n) (30¢.3).

Для независимых с.в. p(x, y)=p(x)p(y) (31)=(3) - плотность распределения системы независимых с.в. равна произведению плотностей распределения отдельных величин, входящих в систему.