Главная страница Случайная страница
Разделы сайта
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Определения. Условно неподвижную систему отсчёта принято называть абсолютной
|
|
Условно неподвижную систему отсчёта принято называть абсолютной. Соответственно, абсолютными называют движение, перемещение, скорость и ускорение точки относительно этой СО. На рисунке система отсчёта K выбрана в качестве абсолютной.
Условно подвижную систему отсчёта принято называть относительной. Движение, перемещение, скорость и ускорение точки относительно этой системы также именуют относительными. Система K' на рисунке является относительной.
Движение, совершаемое подвижной системой K' и всеми жёстко связанными с нею точками пространства[3] относительно системы К, называют перено́ сным. Если некоторая МТ движется относительно подвижной системы K', то в общем случае та точка системы K', в которой в данный момент находится МТ, также движется относительно неподвижной системы К. Мгновенную скорость этой точки системы K' называют переносной скоростью МТ.
Пусть МТ в некоторый момент времени находилась в точке А, а через промежуток времени 
оказалась в точке В (см. рис.). Тогда её перемещение относительно системы К (абсолютное перемещение) будет равно 
. Точка А подвижной системы K' за время переместилась вместе с K' и оказалась в точке С, совершив перемещение относительно системы К (переносное перемещение), изображённое на рисунке вектором 
. С точки зрения наблюдателя, связанного с системой K', точка С является той точкой, в которой МТ находилась первоначально, поэтому вектор 
представляет собой перемещение МТ относительно подвижной системы K', то есть относительное перемещение. Из сказанного и векторной диаграммы на рисунке следует
Деля данное равенство на промежуток времени , а затем устремляя его к нулю, в пределе получаем
где 
— абсолютная, 
— переносная, а 
— относительная скорость движения МТ.
Полученное равенство является математическим выражением теоремы о сложении скоростей, которая формулируется так:
При сложном движении абсолютная скорость материальной точки равна геометрической сумме переносной и относительной скоростей.
Теорему о сложении скоростей называют также правилом параллелограмма скоростей [4].
В общем случае движение системы K' можно представить как сумму двух движений: поступательного движения со скоростью, равной скорости начала координат системы K', и вращательного движения вокруг мгновенной оси, проходящей через это начало. Можно показать, что переносная скорость , скорость начала координат 
и угловая скорость вращательного движения системы 
связаны соотношением[5]
С учётом этого равенства математическое выражение теоремы приобретает вид
Утверждение теоремы, доказанное для двух систем отсчёта нетрудно обобщить на случай произвольного их количества. Действительно, предположим, что считавшаяся нами до сих пор неподвижной система К движется относительно некоторой третьей системы. Тогда для абсолютной скорости 
МТ в этой системе в силу доказанной теоремы будет выполняться
где 
— переносная скорость точки системы К, в которой в данный момент времени находится МТ, движение которой мы изучаем. Очевидно, что рассуждая аналогичным образом, можно получить формулу сложения скоростей, пригодную для любого количества систем отсчёта.
Утверждение теоремы о сложении скоростей справедливо только до тех пор, пока скорости, о которых идёт речь в теореме, много меньше скорости света. В противном случае следует использовать релятивистскую формулу сложения скоростей.
Замечание. Радиус-вектор 
МТ в системе отсчёта К всегда можно представить в виде суммы двух векторов:
где 
— радиус-вектор начала подвижной системы координат, а 
— радиус-вектор МТ в подвижной системе K'. После дифференцирования из равенства следует
Полученное соотношение справедливо для любой МТ и для любого момента времени. Следует, однако, иметь в виду, что в общем случае первый член суммы не равен переносной скорости, а второй — не равен относительной скорости. Действительно, 
— это скорость начала системы координат K' и при наличии вращения системы K' не совпадает со скоростью той точки системы, в которой в данный момент находится МТ. В свою очередь 
представляет собой скорость МТ относительно начала координат, то есть, определяется иначе, чем относительная скорость . Равенства 
и 
выполняются только в тех случаях, когда система K' движется поступательно, то есть когда она не совершает поворотов (
) и все её точки движутся одинаково[6].
19.Определение относительного переносного кориолисова абсолютного ускорений
Согласно теореме Кориолиса, абсолютное ускорение точки в сложном движении определяется как геометрическая сумма относительного, переносного и кориолисова ускорений (рис. 3)
aa = ar ⊕ ae ⊕ aC .
Рис. 3
Поскольку, в данном случае, относительное движение происходит по прямой линии, относительное ускорение a r направлено вдоль этой прямой и определяется выражением
Переносным ускорением точки M является ускорение точки M диска. Диск совершает вращательное движение, следовательно, переносное ускорение определяется выражением
ae = aeвр ⊕ aeцс ,
где aeвр= ε ⋅ OM - вращательное ускорение точки M, направленное перпендикулярно отрезку OM;
aeцс= ω 2⋅ OM - центростремительное ускорение точки M, направленное к центру диска.
Ускорение Кориолиса или поворотное ускорение определяется по формуле
aC = 2 ω e ⊗ ν r,
где ω e - переносная угловая скорость,
ν r - относительная скорость точки.
Направление ускорения Кориолиса определяется по правилу векторного произведения или по правилу Жуковского.
Величина ускорения Кориолиса определяется выражением
a C = 2 ω e ν r sinα,
где α – угол между векторами ω e и ν r.
Рассмотрим, какой физический смысл заложен в ускорение Кориолиса. Для простоты будем считать, что диск вращается с постоянной угловой скоростью, а точка M движется относительно диска с постоянной относительной скоростью (рис.4).
Рис. 4
Пусть в момент времени t1 точка M занимала положение M1 и имела относительную скорость ν r 1. За промежуток времени Δ t точка M переместится в положение M2 , при этом направление скорости ν r изменится вследствие вращения диска. Вектор ν r получит приращение Δ ν r. Отношение Δ ν r / Δ t определяет среднее ускорение точки за промежуток времени Δ t. Предел отношения Δ ν r / Δ t при Δ t → 0 есть производная dν r / dt, как производная от вектора постоянного по величине.
Рассмотрим, как изменяется переносная скорость в зависимости от относительного движения. В моменты времени t1 и t2 переносная скорость определяется выражениями ν e 1= ω ⊗ OM 1 и ν e2 = ω ⊗ OM2. Тогда приращение вектора ν e за счет относительного движения будет равно
Δ ν e = ω ⊗ OM2 - ω ⊗ OM1 = ω ⊗ (OM2 - OM1) = ω ⊗ ν r⋅ Δ t
Отношение Δ ν e / Δ t в пределе при Δ t → 0 дает производную dν e / d t = ω ⊗ ν r. Таким образом, ускорение Кориолиса с одной стороны характеризует изменение относительной скорости по направлению за счет переносного вращения и, с другой стороны, изменение величины переносной скорости за счет относительного движения.
Рис. 5
Абсолютное ускорение точки в сложном движении в общем случае определяется геометрической суммой пяти слагаемых
Для определения величины абсолютного ускорения удобнее пользоваться аналитическим методом сложения векторов:
20.Плоско параллельное движение твердого тела определение скоростей тела
Уравнения плоскопараллельного движения. Разложение движения на поступательное и вращательное. Плоскопараллельным (или плоским) называется такое движение твердого тела, при котором все его точки перемещаются в плоскостях, параллельных некоторой неподвижной плоскости.
Рассмотрим сечение тела какой-нибудь плоскостью OXY, параллельной неподвижной плоскости П (рис. 1.56).
Рис. 1.56 Рис. 1.57
При плоскопараллельном движении все точки тела, лежащие на прямой 
, перпендикулярной к сечению, т.е. к плоскости П, движутся тождественно. Поэтому для изучения движения всего тела достаточно изучить, как дви-жется сечение тела в плоскости OXY. В дальнейшем будем плоскость OXY совмещать с плоскостью рисунка, а вместо всего тела изображать только его сечение.
Положение сечения в плоскости OXY определяется положением какого-нибудь проведенного в этом сечении отрезка АВ (рис. 1.57). Положение отрезка АВ можно определить, зная координаты 
точки А и угол 
, который от-резок АВ образует с осью x.
Точку А, выбранную для определения положения сечения, называют полюсом. При движении тела величины и будут меняться:
(1.74)
Уравнения (1.74), определяющие закон происходящего движения, называются уравнениями плоскопараллельного движения твердого тела.
Плоскопараллельное движение можно представить состоящим из поступательного и вращательного движений. Сечение тела (рис. 1.58) можно переместить из одного положения в другое, переместив сначала поступательно и затем повернув на угол вокруг оси, проходящей через полюс (точку А).
Рис. 1.58 Рис. 1.59
Следовательно, плоскопараллельное движение тела слагается из поступа-тельного движения, в котором все точки тела движутся так же, как полюс, и из вращательного движения вокруг этого полюса.
За полюс можно выбрать любую точку, движение которой известно. При этом поступательное движение зависит от выбора полюса, а величина угла по-ворота и направление поворота от выбора полюса не зависят (рис. 1.58).
Скорости точек тела при плоскопараллельном движении.
Теорема 1. Абсолютная скорость 
любой точки плоской фигуры в каждый данный момент равна геометрической сумме двух скоростей: скорости 
про-извольно выбранного полюса в поступательном движении плоской фигуры и вращательной скорости 
во вращательном движении фигуры относительно полюса.
Положение любой точки В тела можно определить равенством (рис. 1.59)
Взяв производную от обеих частей уравнения по времени получим,
,
где 
- искомая скорость; 
- скорость полюса; 
- скорость точки В при вращательном движении тела вокруг полюса А при 
Таким образом
(1.75)
Теорема 2. Проекции скоростей двух точек плоской фигуры на ось, про-ходящую через эти точки, равны и имеют одинаковый знак (рис. 1.60). Зная, что 
, спроецируем данное выражение на прямую АВ, тогда
Теорема 3. Плоская фигура в каждый момент времени имеет одну точку, абсолютная скорость которой равна нулю. Эта точка называется мгновенным центром скоростей (МЦС), обозначим ее буквой Р (рис.1.61). Докажем сущест-вование МЦС и 
заданы. Повернем полупрямую АI на 90 в сторону вращения плоской фигуры. Отложим отрезок Теорема 3. Плоская фигура в каждый момент времени имеет одну точку, абсолютная скорость которой равна нулю. Эта точка называется мгновенным центром скоростей (МЦС), обозначим ее буквой Р (рис.1.61). Докажем сущест-вование МЦС 
тогда точка Р и будет искомой.
| 
Рис. 1.60 Рис. 1.61
При движении плоской фигуры положение МЦС непрерывно меняется. Графически МЦС находится как точка пересечения перпендикуляров, восста-новленных из двух точек к направлениям их скоростей (рис. 1.62)
Скорости точек плоской фигуры пропорциональны расстояниям от них до мгновенного центра скоростей.
Рис. 1.62 Рис. 1.63
Если за полюс выбран МЦС, то скорость любой точки плоской фигуры есть вращательная скорость вокруг МЦС. Модуль скорости пропорционален расстоянию от точки до МЦС (рис. 1.63).
Рис. 1.64 Рис. 1.65
Зная для данного момента времени положение МЦС и скорость какой-либо точки В плоской фигуры, можно определить угловую скорость и скорость любой точки плоской фигуры (рис. 1.64).
Если известна по модулю и направлению скорость одной точки А и на-правление скорости другой точки В, то можно определить скорости всех точек плоской фигуры (рис. 1.65):
1. Известно направление и модуль 
и направление 
2. Найдем положение МЦС: проведя перпендикуляры к векторам скоростей и
3. Определим 
4. 
и т.д.
Частные случаи определения положения МЦС. Известны направления скоростей двух точек. Рассмотрим этот случай на примере кривошипно-шатунного механизма (рис. 1.66). Направления скоростей точки А кривошипа и ползуна В известны. МЦС должен лежать в точке пересечения перпендикуля-ров к направлениям скоростей этих точек. Эта точка в бесконечности. Точка А принадлежит кривошипу и ее скорость 
, но точка А также принадлежит и шатуну АВ. Выберем точку А за полюс, тогда , спроецируем на прямую АВ:
Спроецируем векторное равенство на перпендикуляр к АВ:
Шатун АВ совершает, так называемое, мгновенно-поступательное движение.
Следовательно, если угловая скорость плоской фигуры равна нулю, то МЦС удален в бесконечность и тело совершает мгновенно- поступательное движение. Скорости всех точек плоской фигуры равны по величине и направ-лению.
Если скорости двух точек плоской фигуры параллельны между собой и перпендикулярны линии, соединяющей эти точки, то МЦС можно найти из ус-ловия пропорциональности скоростей точек расстояниям от этих точек до МЦС (рис. 1.67).
Рис. 1.66 Рис. 1.67
При качении без скольжения одного тела по поверхности другого неподвижного тела МЦС совпадает с точкой соприкосновения тел, так как при отсутствии скольжения скорость точки соприкосновения равна нулю (рис. 1.68).
Рис. 1.68 Рис. 1.69
Определение ускорений точек тела. Абсолютное ускорение любой точки В плоской фигуры равно геометрической сумме ускорения полюса А и ус-корения точки В во вращательном движении фигуры вокруг полюса (рис. 1.69).
(1.77)
Движение плоской фигуры задано 
Ускорение 
точки В во вращательном движении вокруг полюса найдем по формулам (1.71) и (1.72) 
или 
и 
Вектор 
всегда направлен от точки В к полюсу А, вектор 
направлен перпендикулярно ВА в сторону вращения, если оно ускоренное, и против вращения, если оно замедленное.
Тогда вместо равенства (1.77) получим:
(1.78)
Пример 2.5. Центр колеса, катящегося по прямой, имеет в данный мо-мент скорость 
и ускорение 
. Радиус колеса R = 0, 2 м. Определить ускорение точки В - конца перпендикулярного к ОР диаметра АВ и ускорение точки Р, совпадающей с мгновенным центром скоростей (рис. 1.70).
Решение. 
и 
известны поэтому принимаем точку О за полюс. Определяем 
. Точка касания Р является мгновенным центром скоростей, следовательно 
Так как величина Р0 = R остается постоянной при любом положении колеса, то найдя производную от , получим 
= 
Знаки и 
совпадают, следовательно, вращение колеса ускоренное. Следует помнить, что определяется таким образом только в том случае, когда Р0 - величина постоянная.
Определяем 
и 
. Так как за полюс взята точка О, то
Изобразим все ускорения, приложенные в точке В (рис. 1.71).
Рис.1.70 Рис.1.71 Рис. 1.72
Проведя оси Вх и Вy, находим что 
откуда 
Аналогично находится и ускорение точки Р (рис. 1.72) 
, 
и направлено от точки Р к О.
21.Мгновенный центр скоростей частные случаи его определения
Теорема Эйлера-Шаля доказывает, что любое непоступательное перемещение фигуры в плоскости можно осуществить поворотом вокруг некоторого неподвижного центра.
В соответствии с этим легко доказывается, что при плоскопараллельном движении в каждый момент времени существует точка, неизменно связанная с плоской фигурой, скорость которой в этот момент равна нулю. Эту точку называют мгновенным центром скоростей (МЦС). В учебниках эту точку пишут с индексом V, например PV, CV.
Рисунок 2.16
При определении положения МЦС скорость любой точки может быть записана: VM=VCv ⊕ VMCv, где точка CV выбрана за полюс. Поскольку это МЦС и VCv=0, то скорость любой точки определяется как скорость при вращении вокруг мгновенного центра скоростей:
VM=VCv ⊕ VMCv=VMCv, VM=VMCv=ω ⋅ CVM,
VN=VCv ⊕ VNCv=VNCv, VN =VNCv=ω ⋅ CVN,
VK=VCv ⊕ VKCv=VKCv, VK=VKCv=ω ⋅ CVK.
Из рисунка 2.16 видно, что МЦС лежит в точке пересечения перпендикуляров, проведённых к скоростям точек, при этом всегда справедливо соотношение:
VM/CVM=VN/CVN=VK/CVK=ω
Рисунок 2.17
На рисунке 2.17 показаны примеры определения положения МЦС детали кривошипно-шатунного механизма и приведены формулы для расчета скоростей точек.
1) CV совпадает с точкой B VB=0. Шатун вращается вокруг точки B,
ω AB=VA/ACV=VA/AB;
2) VA/ACV=VB/BCV=ω AB;
3) МЦС лежит в «бесконечности»:
VA/∞ =VB/∞ =ω AB=0, VB=VA;
4) VA/ACV=VB/BCV=ω AB.
На рисунках 2.18-2.21 приведены примеры определения положения МЦС.
VA/ACV=VB/BCV=ω
Рисунок 2.18
.
VB||VA
В этом случае МЦС находится в «бесконечности», т.е.
ω =VA/∞ =VB/∞ =ω AB=0, VB=VA
Рисунок 2.19
VA/2R=V0/R=VM/R√ 2=ω, VA/2R=V0/R=VB/R+r=ω, VA/R+r=V0/r=VN/R-r=ω
Рисунок 2.20
Формулы справедливы при отсутствии проскальзывания в точке CV.
VM=VA, VA=VM
VM/MCV=V0/OCV=VN/NCV=VK/KCV=ω 2 VM/MCV=V0/OCV=VN/NCV=ω 2
22.Определения ускорений точек тела при плоском движении
Воспользуемся уравнением (42) для определения скорости и вычислим от него производную
,
. (46)
Ускорение любой точки в сечении тела, совершающем плоское движение, определяется как геометрическая сумма ускорений полюса и ускорения точки в ее вращении вместе с телом по отношению к полюсу.
Так как точка B по отношению к полюсу совершает движение по дуге окружности, то
. (47)
Очевидно 
, 
^ 
; 
, 
|| .
Если точка A движется непрямолинейно, то ее ускорение также будет складываться из касательного и нормального.
23.Закон о динамике основное уравнение динамики
Общее уравнение механики представляет собой математическую формулировку принципа Д’Аламбера — Лагранжа, дающего общий метод решения задач динамики и статики и являющегося одним из основных принципов теоретической механики.([1] Стр.142) Этот принцип объединяет принцип возможных перемещений и принцип Д'Аламбера
Содержание
[убрать]
· 1 Равновесие механической системы
· 2 Механические связи
· 3 Принцип возможных перемещений
· 4 Принцип Даламбера
· 5 Принцип Даламбера-Лагранжа
· 6 Общее уравнение механики
· 7 Замечание
· 8 Примечания
Равновесие механической системы[править | править вики-текст]
Для свободного тела, то есть тела, на которое не наложено никаких связей, условие равновесия в декартовой системе координат определяется равенством нулю сумм проекций действующих на каждый компонент системы сил на координатные оси и сумм всех приложенных к телу моментов сил относительно этих осей:
(1)
и 
(2)
Выполнение этих условий будет свидетельствовать о том, что избранная система отсчёта инерциальна и потому в этой системе отсчёта тело будет либо покоиться, либо двигаться без поворота (в том числе и вращения) равномерно и прямолинейно.([1] Стр.601)
Но выполнения этих условий недостаточно для того, чтобы равновесие сохранялось независимо от внешних воздействий на систему. Для этого необходимо, чтобы оно было устойчивым.
Равновесие системы считается устойчивым, если при малом нарушении её консервативности, т.е изменении суммы её кинетической и потенциальной энергий ([1] Стр.309) путём воздействия извне, её компоненты мало отклоняются от равновесного положения и возвращаются в него после прекращения воздействия.
Для консервативных систем достаточное условие равновесия системы определяется теоремой Лагранжа-Дирихле, согласно которой равновесие устойчиво, если положение её равновесия соответствует минимуму потенциальной энергии
24.Дифференциальное уравнение движения материальной точки
МТ) по заданной неподвижной поверхности и плоской кривой.
Рассмотрим МТ М, движущуюся под действием задаваемой силы Р по некоторой поверхности, являющейся для точки связью (рис. 11.5).
Рис. 11.5
Пусть уравнение поверхности имеет вид f(x, y, z)= 0.
Рассмотрим случай, когда эта поверхность абсолютно гладкая. В этом случае реакция связи N направлена по нормали к поверхности и называется нормальной реакцией.
Согласно принципу освобождаемости от связи отбросим связь, заменив ее действие реакцией N. Тогда для несвободной МТ М получим основное уравнение динамики
m w=P+ N. (11-11)
Спроектировав векторы обеих частей равенства на оси координат получим диф. уравнение движения
md2x/dt2= X+ Nx; md2y/dt2= Y+ Ny; md2z/dt2= Z+ Nx. (11-12)
При этом Nx= Ncos (N, i); Ny= Ncos (N, j); Nz= Ncos (N, k).
При наличии удерживающей связи, т.е. двух параллельных поверхностей, между которыми движется точка, реакция N может быть направлена по нормали к поверхности как в одну, так и в другую стороны. Условимся считать нормальную реакцию положительной, когда она направлена в сторону внешней нормали к поверхности, т.е. в сторону точек пространства, для которых f(x, y, z)> 0, и отрицательной- в противоположном случае.
Тогда косинусы углов между N и осями координат можно определить по формулам дифференциальной геометрии, как направляющие косинусы внешней нормали к поверхности, имеющей уравнение f(x, y, z)= 0:
cos(N, i)= (¶f/¶x)/Df; cos(N, j)= (¶f/¶y)/Df; cos(N, k)= (¶f/¶z)/Df, (11-13)
где
Df= [(¶f/dx)2+ (¶f/dy)2+ (¶f/dz)2]1/2. (11-14)
С использованием (11-14) определим проекции нормальной реакции и подставим это в диф. уравнения
md2x/dt2= X+ l(¶f/¶x); md2y/dt2= Y+ l(¶f/¶y); md2z/dt2= Z+ l(¶f/¶z), (11-15)
где l= N/Df- множитель Лагранжа.
Уравнения (11-15) называются диф. уравнениями движения несвободной материальной точки в форме Лагранжа.
Из трех диф. уравнений (11-15) и уравнений связи (11-1) в зависимости от времени можно определить неизвестные величины x, y, z, l.
Получив координаты точки как функции времени, определим движение точки М, а определив l, можно найти алгебраическое значение нормальной реакции поверхности по формуле
N= lDf. (11-16)
При наличии неудерживающей связи (одной поверхности) направление реакции совпадает с определенным направлением нормали. В том случае, когда N =0 с последующим изменением знака, происходит отрыв точки М от поверхности.
Рассмотрим теперь движение МТ по заданной негладкой неподвижной поверхности, уравнение которой f(x, y, z)= 0. В этом случае реакция связи R имеет две составляющие: нормальную реакцию N и силу трения F с модулем F= mN, направленную противоположно скорости точки (рис. 11.6)
Рис. 11.6.
Тогда основное уравнение динамики для несвободной МТ имеет вид:
m w = P+ N+ F. (11-17)
Ему соответствуют диф. уравнения движения точки:
md2x/dt2= X+ Nx +Fx; md2y/dt2= Y+ Ny +Fy; md2z/dt2= Z+ Nx+ Fz. (11-18)
Проекции силы трения можно представить в виде
Fx= Fcos(F, i)= -Fcos(u, i)=- Fux/u= - (F/u)dx/dt.
Аналогично
Fу= - (F/u)dу/dt; Fz= - (F/u)dz/dt.
После подстановки этого в (11-18) с учетом (11-15), получим
md2x/dt2= X+ l(¶f/¶x)- (F/u)dx/dt;
md2`y/dt2= X+ l(¶f/¶y)- (F/u)dy/dt; (11-19)
md2`z/dt2= X+ l(¶f/¶z)- (F/u)dz/dt.
Из трех уравнений (11-19), уравнений связи (11-1) и уравнения F= mN можно определить пять неизвестных величин: x, y, z, l, F. Алгебраические значения нормальной реакции определится по формуле N= lDf.
Если рассматривать движение МТ по заданной гладкой неподвижной линии, лежащей в одной плоскости (рис.11.7), то уравнение заданной линии будет записываться в форме
f(x, y)= 0, (11-20)
а уравнение динамики-
m w = P+N, (11-21)
а переходя к проекциям аналогично (11-12)…(11-14), получим
md2x/dt2= X+ l(¶f/¶x); md2y/dt2= Y+ l(¶f/¶y), (11-22)
где Df= [(¶f/dx)2+ (¶f/dy)2]1/2. (11-23)
Однако при движении точки по заданной плоской линии удобней проектировать векторы уравнения (11-21) не на оси декартовых координат, а на естественные координаты, т.е. на направления касательной и нормали траектории, лежащие в плоскости кривой хОу (рис.11.7)
Рис. 11.7
При этом касательную направляют в сторону возрастания другой (дуговой) координаты s= O1M, отсчитанной от произвольно выбранного начала отсчета О1, а нормаль направляют к центру кривизны траектории.
Спроектировав все векторы (11-21) на оси, получим
mw cos(w, t)= Pt; mw cos(w, n)= Pn +N, (11-24)
где Pt, Pт - проекции силы Р на касательную и нормаль.
Из кинематики известно, что
w cos(w, t)= d2s/dt2; w cos(w, n)= u2/r.
Подставим это в (11-24)
md2s/dt2= Pt; mu2/r= Pn+ N. (11-25)
Эти уравнения называются уравнениями движения несвободной точки в форме Эйлера.
Интегрируя первое уравнение, можно определить сначала скорость, а затем уравнение движения М по заданной траектории s= f(t). Подставив скорость u= df/dt во второе уравнение можно найти алгебраическое значение нормальной реакции N.
Пусть теперь точка М, двигаясь по плоской линии, испытывает сопротивление движению в виде силы трения F с модулем F= mN, направленную противоположно скорости точки.
Основное уравнение динамики несвободной МТ будет иметь вид
m w=P+ N+ F. (11-26)
После разложения на естественные координаты
md2s/dt2= Pt- F; mu2/r= Pn+ N. (11-27)
Эти уравнения вместе F= mN, где m - коэффициент трения, позволяют определить уравнение движения точки по заданной траектории, алгебраические значения N и модуль силы трения.
11.3. Математический маятник и его малые колебания.
Математический маятник- это материальная точка, подвешенная на нерастяжимой невесомой нити, совершающая движение в одной вертикальной плоскости под действие силы тяжести.
Пусть на точку М действуют две силы: вес G и реакция нити N (рис.11.8)
Рис. 11.8
Уравнения движения имеют вид
md2s/dt2= Pt= -G sinj = -mgsinj;
mu2/r= Pn+ N= -mg cosj+ N.
За начало отсчета дуговой координаты s примем наинизшее положение О1.
Так как s= O1M = lj, то
d2s/dt2= l d2jdt2.
Подставляя это в первое уравнение, получим
ml d2jdt2= -mgsinj или
d2jdt2+(g/l)sinj= 0. (11-28)
Это уравнение нельзя проинтегрировать по времени при помощи элементарных функций. Если при малом угле j принять sinj» j, то (11-28) примет вид
d2jdt2+(g/l) j= 0, (11-29)
которое при k= (g/l)1/2 имеет решение
j= a sin(kt+ β), (11-30)
где a - амплитуда угла j при малых колебаниях маятника.
Величина амплитуды зависит от начальных условий. Период колебаний определяется по частоте колебаний k:
T= 2p/k= 2p(l/g)1/2. (11-31)
Модуль реакции нити определим из второго уравнения при r= l:
N= mu2/l+ mg cosj. (11-32)
Для определения скорости преобразуем уравнение (11-28).
Т.к. d2jdt2= dw/dt= (dw/dj)dj/dt=(dw/dj)w, то получим
wdw/dj= -(g/l)sinj или wdw= -(g/l)sinj dj.
Проинтегрируем его
w2/2= (g/l)cosj+ C. (11-33)
Постоянную С определим из начальных условий. Пусть t0=0, w= w0, j=j0. Подставим это в (11-33)
w0 2/2= (g/l)cosj0 + C.
Отсюда С = w0 2/2- (g/l)cosj0.
Подставим полученное в (11-33)
w2=w0 2+ 2(g/l)(cosj- cosj0). (11-34)
Умножим обе части равенства на l2:
u2= u02+2gl(cosj- cosj0). (11-35)
Подставив (11-35) в (11-32), найдем модуль реакции нити:
N= G[u02/(gl)+ 3 cosj- 2 cosj0]. (11-36)
Формула (11-36) справедлива не только для малых колебаний, поскольку получена не из приближенного, а из точного решения диф. уравнения.
Пример 11.1 Груз подвешен на нити длиной 70 см. В наинизшем положении ему сообщена горизонтальная скорость 4, 9 м/с (рис. 11.9).
Рис. 11.9
Определить: 1) в каком положении нить перестанет удерживать груз и он начнет двигаться как свободная точка; 2) при какой наименьшей начальной горизонтальной скорости груз опишет полную окружность.
Решение. Модуль реакции нити в любом положении равен
N= G[u02/(gl)+ 3 cosj- 2 cosj0].
Положение груза, когда нить перестанет его удерживать, определится из условия, что в этом положении реакция нити равна нулю:
[u02/(gl)+ 3 cosj- 2 cosj0]=0.
Откуда
cosj= [2cosj0- u02/(gl)]/3= [2-4, 92/(9, 8*0, 7)]/3=- 0, 5.
Т.е. искомое положение груза j= 120°.
Минимальная начальная скорость, при которой груз опишет полную окружность, будет такой же, как и при прохождении полуокружности, и определяется по формуле (11-36) из условия
N³ 0 при j = 180°, т.е.
u02/(gl)+ 3 cosp- 2 ³ 0.
Откуда
u0³ (5gl)1./2 и u0 min= (5gl)1./2.
25.Две основные задачи динамики точки
В основе классической динамики лежат законы, впервые сформулированные и систематически изложенные И.Ньютоном в его «Математических началах натуральной философии».
В зависимости от того, что нам известно и что необходимо найти, в динамике рассматривают две основные задачи.
Первая, основная задача динамики точки заключается в том, чтобы по заданному закону движения материальной точки определить результирующую или одну из составляющих сил, действующих на эту точку.
При наличии нескольких сил, действующих на точку, второй закон Ньютона дает основное уравнение динамики точки
где m – масса точки;
a – ускорение точки;
Fi – силы, действующие на точку.
В зависимости от способа задания движения точки, это уравнение можно записать по-разному.
Для векторного способа задания движения
где r = r (t) – радиус-вектор, определяющий положение точки по отношению к выбранной системе отсчета.
Для координатного способа задания движения точки
где x = x (t), y = y (t), z = z (t) – координаты точки, заданные как функции времени.
Для естественного способа задания движения точки
0 = Σ Fib ,
где dV/ dt – проекция ускорения точки на касательную в данной точке (касательное ускорение), V2/ ρ – проекция ускорения на нормаль (нормальное ускорение),
ρ – радиус кривизны траектории.
В правой части уравнений – проекции сил на касательную Σ Fiτ ,
нормаль Σ Fin и бинормаль Σ Fib.
По заданному закону движения точки определяются правые части этих уравнений, и далее может быть определена результирующая сила
– при координатном способе задания движения:
– при естественном способе или одна из составляющих сил:
Направление силы определяется с помощью направляющих косинусов:
cos (α) = Rx / R, cos (β) = Ry / R, cos (γ) = Rz / R (1.5)
где α, β, γ – углы между направлением силы и осями x, y, z соответственно.
Аналогично определяются углы, которые составляют силы с естественными осями координат.
Вторая, основная задача динамики точки заключается в том, чтобы по заданным силам, действующим на точку, определить ее движение.
Пусть на материальную точку действует некоторая система сил и требуется определить движение точки под действием этих сил.
Уравнение второго основного закона динамики для материальной точки массой m запишется в виде
где a – ускорение точки;
Fi – силы, действующие на точку, включая реакции связей.
Спроектировав уравнение (4.1) на декартовы оси координат, получим систему из трех уравнений
где ax, ay, az – проекции ускорения точки на декартовы оси координат;
Fx, Fy, Fz – проекция i -й силы на соответствующую ось.
Учитывая, что
получаем систему дифференциальных уравнений первого порядка относительно проекций скорости точки или второго порядка относительно координат точки.
Спроектировав уравнение (4.1) на естественные оси координат, получим следующую систему уравнений:
maτ = Σ Fτ i,
man = Σ Fni,
0 = Σ Fbi.
Учитывая, что
где V – алгебраическое значение скорости, получим
0 = Σ Fbi.
В зависимости от того, что известно о движении точки, дифференциальные уравнения записывают или в декартовых, или в естественных координатах.
Каждое дифференциальное уравнение дает целый класс решений, отличающихся друг от друга на некоторую постоянную величину. Чтобы получить решение конкретной задачи, должны быть заданы так называемые начальные условия, которые позволяют определить постоянные интегрирования.
|
|