Наращение по сложным процентным ставкам (compound interest)

В долгосрочных финансово-кредитных операциях для определения наращенной суммы долга используются, как правило, сложные проценты. Чаще всего проценты начисляются за фиксированные промежутки времени, в этом случае говорят о дискретном начислении. Иногда применяются непрерывные проценты (чаще всего в теоретических выкладках). Для определения наращенной суммы долга по сложной процентной ставке при капитализации процентов 1 раз в год используется формула:

S=P (1+r) ⁿ (50)

n - количество лет (месяцев, недель или дней) пользования ссудой;

(1+r) ⁿ - множитель наращения.

Для удобства практических расчетов существуют таблицы множителей наращения для определенных r и n. Не имея под рукой таблицы, наращенную сумму можно определить по формуле 50.

Пример 3. Определить, чему будет равна сумма депозита в 100 тыс.руб. при сроке 2 года и 50% годовых.

S=100 000х(1 + 0, 5)²= 225 000 руб.

Формулой (9) можно пользоваться в том случае, если ставка процентов не меняется во времени, однако на практике, особенно при нестабильной экономике, это не так. Точные финансовые расчеты нельзя выполнить при меняющейся процентной ставке, однако при «плавающих», но все же фиксированных на определенные моменты времени ставках можно рассчитать и будущую сумму по формуле:

S=P(1+r₁)ⁿ¹х(1+r₂)ⁿ²х……х(1+r_к)^nк (51)

где

r_к– значения процентных ставок, фиксированных на определенные моменты времени n_к.

Вышеприведенные формулы применяются в расчетах с ежегодным начислением (ежегодной капитализацией) процентов. В современной действительности проценты капитализируются несколько раз в год, начисляются полугодовые, ежеквартальные или ежемесячные проценты, а в условиях быстрого роста инфляции финансовые и кредитные учреждения могут капитализировать проценты даже ежедневно. В этом случае применить формулу (9) можно лишь для процентной ставки соответствующего периода начисления. Например, 30% квартальных. Если же дана годовая процентная ставка (как это обычно и бывает на практике), а проценты начисляются ежеквартально, ежемесячно и т.п., то используется формула номинальной процентной ставки (nominalrate):

S=P(1+r/m)^mn (52)

где

m – кол-во периода начисления в году;

r/m- номинальная процентная ставка.

Пример 4. Банк выдал ссуду 200 тыс.руб. на 2 года из расчета 10% годовых с условием ежеквартальной капитализацией процентов.

Определить наращенную сумму долга.

S=200 000 х (1 х 0, 1/4) ^4х2 = 243 680, 54 руб.

К аналогичному результату можно прийти, пользуясь таблицами множителей наращения.

На практике часты случаи, когда капитализация процентов и выплата долга происходят не одновременно. Например, период сложения процентов – ежемесячно, а сумма выплачивается один раз в год. В этом случае для определения будущей стоимости современных денег пользуются формулой эффективной процентной ставки (effective rate).

r_e = (1+r/m)^m- 1 (53)

где

m- период капитализации процентов;

r_e– эффективная процентная ставка.

Пример 5. Определить наращенную сумму, если первоначальная сумма составила 10 тыс.руб., ставка процентов 10%, капитализация процентов ежемесячная, период – 1 год.

В данном случае для решения можно воспользоваться формулой (11) или формулой (12). Формулой (11) чаще пользуются в США, а в Европе обычно используют эффективную процентную ставку.

S=10 000 х (1+0, 1/12) ¹² = 11 047, 119 или

rе = (1+0, 1/12) ¹² - 1=0, 1047119

S = 10 000 (1+0, 1047119) ¹ = 11047, 119