Дифференциальные уравнения второго порядка

1) Линейные однородные дифференциальные уравнения
второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами p и q называется уравнение вида

(8)

Алгебраическое уравнение k ² + pk + q = 0 называется характеристическим уравнением для данного дифференциального уравнения, а его корни – характеристическими числами (корнями).

Для нахождения общего решения уравнения (8):

1. Запишем соответствующее характеристическое уравнение

k ² + pk + q = 0.

2. В соответствии со знаком дискриминанта возможны три случая:

а) D > 0. Тогда характеристическое уравнение имеет два действительных корня k ₁ ¹ k ₂, и общее решение уравнения (8) имеет вид

(9)

б) D = 0. Тогда k = k ₁ = k ₂ – действительный корень и общее решение уравнения (8) имеет вид

(10)

в) D < 0. Тогда корни k ₁, k ₂ – комплексно-сопряженные числа, т. е. k _{1, 2} = a ± i b, где a, b – действительные числа, и общее решение уравнения (8) имеет вид

(11)

Отметим, что во всех перечисленных случаях С ₁, С ₂ – произвольные постоянные.

Пример 9. Найти общее решение дифференциальных уравнений:

1)

2)

3)

Решение

1. Запишем характеристическое уравнение k ² + k – 2 = 0.

Найдем его корни

; k ₁ = –2; k ₂ = 1.

Так как k ₁ ¹ k ₂ – действительные числа, то общее решение находим по формуле (9)

2. Запишем характеристическое уравнение k ² + 2 k + 1 = 0.

Найдем его корни

k ₁ = k ₂ = –1.

В этом случае общее решение находим по формуле (10)

3. Запишем характеристическое уравнение k ² + 4 k + 5 = 0.

Найдем его корни

Здесь

Общее решение находим по формуле (11)

Тест 19. Однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами является уравнение вида:

1)

2)

3)

4)

5)

Тест 20. Однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами является:

1)

2)

3)

4)

5)

Тест 21. При решении однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами = 0:

1) вводится подстановка вида y = u × v, где u = u (x) и v = v (x) – некоторые неизвестные функции;

2) вводится подстановка вида y = u × x, где u = u (x) – некоторая неизвестная функция;

3) составляется характеристическое уравнение k ² + pk + q = 0.

Тест 22. Характеристическое уравнение k ² + pk + q = 0 имеет два различных действительных корня k ₁ и k ₂. Тогда общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид:

1)

2) y = u × x, где u = u (x) – некоторая неизвестная функция;

3)

4)

5) y = u × v, где u = u (x) и v = v (x) – некоторые неизвестные функции.

Тест 23. Характеристическое уравнение k ² + pk + q = 0 имеет комплексные корни Тогда общее решение однородного диф-
ференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид:

1)

2) y = u × x, где u = u (x) – некоторая неизвестная функция;

3)

4)

5) y = u × v, где u = u (x) и v = v (x) – некоторые неизвестные функции.

Тест 24. Характеристическое уравнение k ² + pk + q = 0 имеет равные корни k ₁ = k ₂. Тогда общее решение однородного дифферен-
циального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид:

1)

2) y = u × x, где u = u (x) – некоторая неизвестная функция;

3)

4)

5) y = u × v, где u = u (x) и v = v (x) – некоторые неизвестные функции.

Тест 25. Характеристическое уравнение k ² + pk + q = 0 имеет комплексные корни Тогда общее решение однородного диф-
ференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид:

1)

2) y = u × x, где u = u (x) – некоторая неизвестная функция;

3)

4)

5) y = u × v, где u = u (x) и v = v (x) – некоторые неизвестные функции.

Тест 26. Характеристическое уравнение k ² + pk + q = 0 имеет D = 0. Тогда общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид:

1)

2) y = u × x, где u = u (x) – некоторая неизвестная функция;

3)

4)

5) y = u × v, где u = u (x) и v = v (x) – некоторые неизвестные функции.

Тест 27. Характеристическое уравнение k ² + pk + q = 0 имеет D < 0. Тогда общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид:

1)

2) y = u × x, где u = u (x) – некоторая неизвестная функция;

3)

4)

5) y = u × v, где u = u (x) и v = v (x) – некоторые неизвестные функции.

Тест 28. Общее решение дифференциального уравнения
у ¢ ¢ + 2 у ¢ + у = 0 находим по формуле:

1)

2) y = u × x, где u = u (x) – некоторая неизвестная функция;

3)

4)

5) y = u × v, где u = u (x) и v = v (x) – некоторые неизвестные функции.

Тест 29. Общее решение дифференциального уравнения
y ¢ ¢ + 4 y + 5 y = 0 находим по формуле:

1)

2) y = u × x, где u = u (x) – некоторая неизвестная функция;

3)

4)

5) y = u × v, где u = u (x) и v = v (x) – некоторые неизвестные функции.

Тест 30. Общим решением дифференциального уравнения может являться функция:

1)

2)

3)

4)

5)

Ответы на тестовые задания

2) Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида

f (x), (12)

где p и q – постоянные;

функция f (x) – непрерывная.

Общее решение неоднородного уравнения можно представить в виде

где y ₀(x) – общее решение соответствующего однородного уравнения;

y_n (x) – частное решение неоднородного уравнения.

Тест 31. Линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами является уравнение вида:

1)

2)

3)

4)

5)

Тест 32. Линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами является уравнение вида:

1)

2)

3)

4)

5)

Тест 33. Общее решение неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами f (x) имеет вид:

1)

2) где – общее решение соответствующего однородного уравнения;

3)

4) , где – частное решение неоднородного уравнения;

5) где – общее решение соответствующего однородного уравнения, – частное решение неоднородного уравнения.

Несколько простейших случаев отыскания частных решений уравнения (12) приведены ниже.

1. Пусть в правой части уравнения (12) функция

f (x) (13)

где – многочлен степени n.

Тогда частное решение уравнения (12) будем искать в виде решений, приведенных в таблице 4.

Таблица 4

Если a не является корнем соответствующего характеристического уравнения	Если a – корень характеристического уравнения кратности 1	Если a – корень характеристического уравнения кратности 2
(14)	(15)	(16)

В равенствах 14–16 Q_n (x) – многочлен степени n с неопределенными коэффициентами.

Напомним, что если n = 0, то Q_n (x) = A; n = 1, то Q_n (x) = Ax + B;
n = 2, то Q_n (x) = Ax ² + Bx + C и т. д.

Пример 10. Определить вид частного решения уравнения

Решение

Запишем соответствующее однородное уравнение

1. Характеристическое уравнение k ² – 4 k + 3 = 0 имеет корни k ₁ = 1; k ₂ = 3.

2. В правой части данного уравнения функция вида (13)

3. Здесь a = 2 – не является корнем характеристического уравнения; – многочлен первой степени.

Следовательно, частное решение данного неоднородного уравнения надо искать в виде (14), т. е. = e ^{2 x} (Ax + B).

2. Пусть в правой части уравнения (12) функция

f (x) (17)

где C ₁ и C ₂ – постоянные.

Тогда частное решение уравнения (12) будем искать в виде решений, приведенных в таблице 5.

Таблица 5

Если a ± b i не являются корнями соответствующего характеристического уравнения	Если a ± b i – корни характеристического уравнения
(18)	(19)

Пример 11. Определить вид частного решения уравнения

Решение

Запишем соответствующее однородное уравнение

1. Характеристическое уравнение k ² + 4 k – 2 = 0 имеет корни

2. В правой части данного уравнения функция вида (17)
f (x) т. е. f (x)

3. Здесь a = 0; b = 2. Составленные из этих значений комплексные числа a ± b i = 0 ± 2 i не являются корнями характеристического уравнения.

Следовательно, частное решение данного неоднородного уравнения надо искать в виде (18), т. е. или

Тест 34. Характеристическое уравнение k ² – 4 k + 3 = 0, соответ-
ствующее однородному дифференциальному уравнению второго порядка с постоянными коэффициентами имеет корни k ₁ = 1; k ₂ = 3. Тогда частное решение соответствующего неоднородного уравнения имеет вид:

1)

2)

3)

4)

5)

Тест 35. Характеристическое уравнение k ² – 4 k + 4 = 0, соответ-
ствующее однородному дифференциальному уравнению второго порядка с постоянными коэффициентами имеет корень k = 2. Тогда частное решение соответствующего неоднородного уравнения имеет вид:

1)

2)

3)

4)

5)

После того, как вид частного решения определен, методом неопределенных коэффициентов находим коэффициенты A и B.

Ответы на тестовые задания

Ряды