Интегрирование способом подстановки

Суть этого метода заключается в следующем: так преобразовать подынтегральное выражение, чтобы полученный интеграл стал табличным или более простым.

Если – любой из известных нам интегралов, то вместо переменной в левую и правую части записанного равенства мы можем подставить другую переменную u = j(x), являющуюся дифференцируемой функцией от x. При этом также получим истинное равенство или На du будем смотреть как на дифференциал функции u = j(x), который будем вычислять по формуле

Пример 3. Найти неопределенный интеграл

Решение

Введем новую подстановку, положив u = 5 x + 4, du = (5 x +4)¢ dx =
= 5 dx, Внеся эти выражения в данный интеграл и сделав обратную замену, получим

Тест 3. Найти неопределенный интеграл

1)

2)

3)

4)

5)

Пример 4. Определить число в интеграле

Решение

Вычислим интеграл в левой части этого равенства, положив u = 3 x.

Тогда откуда и

= Отсюда

Тест 4. Определить число в интеграле

1)

2)

3)

4)

5)

Пример 5. Среди множества всех первообразных в неопределенном интеграле найти такую первообразную F (x), что

Решение

Определим вначале значение этого интеграла

4 –2 + С.

Среди множества всех первообразных выберем такую, которая удовлетворяет условию Должно выполняться равенство откуда C = 9.

Тест 5. Среди множества всех первообразных в неопределенном интеграле найти такую первообразную F (х), что F (4) = 6:

1)

2)

3)

4)

5)