Производная по направлению. Градиент

Частные производные и представляют собой производные от функции z = f (x; y) по двум частным направлениям осей Ox и Oy (рисунок 43).

Рисунок 43

Пусть функция z = f (x; y) определена в некоторой окрестности точки М (х; у), – некоторое направление, задаваемое единичным вектором где ибо (или ); cos a, cos b – косинусы углов, образуемых вектором е с осями координат и называемые направляющими косинусами.

При перемещении в данном направлении точки M (x; y) в точку M ₁(x + D x; y + D y) функция z получит приращение D z = f (x + D x; y +
+ D y) – f (x; y), называемое приращением функции в данном направлении

Если то, очевидно, что следовательно,

Производной по направлению функции двух переменных
z = f (x; y) называется предел отношения приращения функции в этом направлении к величине перемещения при стремлении последней к нулю, т. е.

Производная характеризует скорость изменения функции в направлении

Формула для производной функции z = f (x; y) по направлению имеет вид

Пример 16. Дана функция z = x ² + y ², в точке M (1; 1) направление составляет с осью Ox угол Найти производную функции по указанному направлению в этой точке.