Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Пусть M ₀(x ₀; y ₀; z ₀) – фиксированная точка на поверхности, заданной функцией z = f (x; y) или уравнением F (x; y; z) = 0.

Касательной плоскостью к поверхности в точке M ₀ называется плоскость, в которой расположены касательные к всевозможным кривым, проведенным на поверхности через точку M ₀.

Нормалью называется прямая, проходящая через точку M ₀ перпендикулярно касательной плоскости.

Из определений следует, что нормальный вектор касательной плоскости и направляющий вектор нормали совпадают.

Если поверхность задана уравнением z = f (x; y), то уравнение касательной плоскости в точке M ₀(x ₀; y ₀; z ₀) к данной поверхности имеет вид

(1)

а канонические уравнения нормали, проведенной через точку M ₀(x ₀; y ₀; z ₀) поверхности, имеют вид

(2)

В случае, когда уравнение гладкой поверхности задано в неявном виде: F (x; y; z) = 0 и F (x ₀; y ₀; z ₀) = 0, то уравнение касательной плоскости в точке M ₀(x ₀; y ₀; z ₀) имеет вид

(3)

а уравнение нормали

(4)

Пример 15. Найти уравнение касательной плоскости и уравнения нормали к поверхности в точке M ₀(1; 2; –1).

Решение

Вычисляем значения частных производных в точке M ₀(1; 2; –1)

Подставляя их в уравнения (3) и (4), получаем соответственно уравнение касательной плоскости: канонические уравнения нормали:

Тест 11. Уравнение касательной плоскости к поверхности в точке P ₀(2; –3; 2) имеет следующий вид:

1)

2)

3)

4)

5)