Частные производные и дифференциал функции

Частной производной функции нескольких переменных по одной из этих переменных называется предел отношения соответствующего частного приращения функции к приращению данной переменной, когда последнее стремится к нулю (если этот предел существует).

Для функции имеем:

· (частная производная по переменной х);

· (частная производная по переменной y).

Из определения частных производных следует, что для нахождения производной надо считать постоянной переменную y, а для нахождения – переменную x.

При нахождении частной производной пользуются правилами дифференцирования функции одной переменной, считая все другие аргументы постоянными.

Полным дифференциалом функции называется сумма произведений частных производных этой функции на приращения соответ-
ствующих независимых переменных, т. е.

Для независимых переменных x и y любые приращения D x и D y будем считать их дифференциалами, т. е. и

Тогда полный дифференциал функции z = f (x; y) вычисляется по следующей формуле:

а для функции трех переменных u = f (x; y; x):

Полный дифференциал часто используется для приближенных вычислений значений функции, т. е.

Существование частных производных является лишь необходимым, но недостаточным условием дифференцируемости функции.

Следующая теорема выражает достаточное условие дифференцируемости функции двух переменных.

Теорема. Для того чтобы функция z = f (x; y) была дифференцируемой в данной точке, достаточно, чтобы она обладала частными производными, непрерывными в этой точке.

Пример 11. Вычислить частные производные и полный дифференциал функции