Точки разрыва функции и их классификация

Если условия непрерывности функции в точке x ₀ не выполнены,
т. е. в точке x ₀ существует конечный предел, не равный значению функции в этой точке, либо равный бесконечности, либо вообще не существует, то говорят, что функция имеет разрыв в этой точке.

Различают точки разрыва первого рода и точки разрыва второго рода. Если функция в точке x ₀ имеет конечные пределы слева и справа, из которых хотя бы один не равен f (x ₀), то точка x ₀ называется точкой разрыва первого рода функции f (x), а величина – скачком функции в точке x ₀. Если при этом то точка x ₀ называется устранимой точкой разрыва функции f (x), так как, заменяя ее значение x ₀ в точке x ₀ общим значением получим непрерывную функцию.

Если хотя бы один из односторонних пределов равен бесконечности или не существует, то x ₀ называется точкой разрыва второго рода функции f (x).

Пример 4. Функция f (x) = при x ≠ 0 непрерывна как отношение двух непрерывных функций. Полагая f (0) = 1 в соответствии с пределом получим функцию f (x) = непрерывную и в точке x = 0.

Пример 5. Исследовать на непрерывность функцию f (x) =

Решение

Функция элементарная, определена и непрерывна на всем множестве действительных чисел, за исключением точки x = 2. В этой точке функция имеет разрыв. Найдем предел = отсюда f (2 + 0) = f (2 – 0) = 4.

Таким образом, в точке x = 2 функция имеет устранимый разрыв 9 (рисунок 28). Если эту функцию доопределить в точке x = 2, положив f (2) = 4, то она будет непрерывной на всей числовой прямой. В этом случае говорят, что функцию f (x) доопределили по непрерывности в точке x = 2.

Рисунок 28

Пример 6. Исследовать на непрерывность функцию

f (x) =

Решение

Функция имеет разрыв второго рода в точке x = 0 с обеих сторон, так как

Тест 7. Функция f (x) =

1) имеет разрыв первого рода;

2) имеет разрыв второго рода;

3) является непрерывной.

Тест 8. Функция f (x) =

1) имеет разрыв первого рода;

2) имеет разрыв второго рода;

3) является непрерывной.

Тест 9. Функция f (x) =

1) имеет разрыв первого рода;

2) имеет разрыв второго рода;

3) является непрерывной.

Тест 10. Функция f (x) = в точке x = 2:

1) имеет устранимый разрыв первого рода;

2) имеет разрыв первого рода;

3) имеет разрыв второго рода;

4) является непрерывной.

Тест 11. Функция f (x) = в точке x = 0:

1) имеет устранимый разрыв первого рода;

2) имеет устранимый разрыв второго рода;

3) имеет разрыв второго рода;

4) является непрерывной.

Рассмотрим свойства функций, непрерывных в точке:

1. Если функции f (x) и g (x) непрерывны в точке х ₀, то их алгебраическая сумма f (x) + g (x), произведение f (x) × g (x) и частное f (x) / g (x) (при условии g (x) ≠ 0) являются функциями, непрерывными в точке х ₀.

2. Если функция y = f (x) непрерывна в точке х ₀ и f (х ₀) > 0, то существует такая окрестность точки х ₀, в которой f (x) > 0.

3. Если функция y = f (u) непрерывна в точке u ₀, а функция u = j(x) – в точке х ₀, то сложная функция y = f (φ (x)) непрерывна в точке х ₀.

Функция y = f (x) называется непрерывной на множестве М, если она непрерывна в каждой точке этого множества. Все элементарные функции непрерывны в области их определения.

Функция y = f (x) называется непрерывной на отрезке [ a; b ], если она непрерывна в каждой внутренней точке отрезка (a < x < b) и

Рассмотрим свойства функций, непрерывных на отрезке:

1. Если функция y = f (x) непрерывна на отрезке, то она ограничена на этом отрезке.

2. Теорема Вейерштрасса: если функция y = f (x) непрерывна на отрезке [ a; b ], то она достигает на этом отрезке наименьшего значения m и наибольшего значения М.

3. Теорема Больцано-Коши: если функция y = f (x) непрерывна на отрезке [ a; b ] и принимает на его концах значения противоположных знаков, то для некоторого

Тест 12. Функция f (x) = является непрерывной на отрезке:

1) [–5; 0];

2) [0; 5];

3) [–2; 2];

4) [1; 10];

5) имеет разрыв на каждом из указанных отрезков.

Тест 13. Функция f (x) = является непрерывной на отрезке:

1) [–5; 0];

2) [0; 5];

3) [–1; 0];

4) [1; 10].

Тест 14. Функция f (x) = является непрерывной на отрезке:

1) [–5; 0];

2) [2; 5];

3) [–2; 0];

4) [–10; 10].

Тест 15. Функция f (x) = является непрерывной на отрезке:

1) [–5; 0];

2) [0; 5];

3) [–5; 5];

4) [5; 9].

Ответы на тестовые задания