Комплексные числа

Комплексным числом z называется выражение вида z = а + bi, где а и b – действительные числа, i – мнимая единица, i ² = –1.

Если а = 0, то число 0 + bi = bi называется чисто мнимым; если
b = 0, то число а + 0 i = а отождествляется с действительным числом а.

Таким образом, множество R всех действительных чисел является подмножеством множества С всех комплексных чисел, т. е. R Ì С.

Для комплексного числа z = a + bi число а называется действительной частью комплексного числа z и обозначается а = Rez, а число b – мнимой частью комплексного числа z и обозначается b = Imz.

Пример 1. Для комплексного числа z определить Rez и Imz:

а) z = 2 + 5 i;

б) z = 1 – 3 i;

в) z = 2;

г) z = 5 i;

д) z = i.

Решение

а) Rez = 2, Imz = 5;

б) так как z = 1 – 3 i = 1 + (–3) i, то Rez = 1, Imz = –3;

в) так как z = 2 = 2 + 0 i, то Rez = 2, Imz = 0;

г) так как z = 5 i = 0 + 5 i, то Rez = 0, Imz = 5;

д) так как z = i = 0 + 1 i, то Rez = 0, Imz = 1.

Тест 1. Мнимая часть Imz комплексного числа z = 5 + 4 i равна:

1) 9;

2) 5;

3) 4;

4) (–4);

5) 1.

Тест 2. Мнимая часть Imz комплексного числа z = 7 – i равна:

1) 7;

2) 1;

3) 0;

4) (–1);

5) (–7).

Тест 3. Действительная часть Rez комплексного числа z = –4 i равна:

1) –4;

2) 0;

3) 4;

4) 1;

5) (–1).

Два комплексных числа z ₁ = а ₁ + b ₁ i и z ₂ = а ₂ + b₂i называются равными тогда и только тогда, когда равны их действительные части и равны их мнимые части, т. е. а ₁ = а ₂, b ₁ = b ₂. В частности, комплексное число z = а + bi равно нулю тогда и только тогда, когда а = b = 0.

Пример 2. Указать, какие из комплексных чисел являются равными: z ₁ = 2 + 3 i; z ₂ = 2 + 5 i; z ₃ = 1 + 3 i; z ₄ = –1 + 3 i; z ₅ = 2 + 3 i.

Решение

Среди данных комплексных чисел выбираем сначала те, которые имеют равные действительные части: z ₁, z ₂, z ₅. Так как при этом Imz ₁ =
= Imz ₅ = 2, Imz₂ = 5, то равными являются комплексные числа z ₁ и z ₅.

Ответ: z ₁ = z ₅.

Тест 4. Даны комплексные числа: z ₁ = 2 + 3 i; z ₂ = 4 – i; z ₃ = 3 + 2 i; z ₄ = –4 + i; z ₅ = 4 + i; z ₆ = 4 – i; z ₇ = 2 – 3 i; z ₈ = 4 – i; z ₉ = 3 – 2 i. Среди них равными являются:

1) z ₁ = z ₃ = z ₇ = z ₉;

2) z ₇ = z ₉;

3) z ₂ = z ₅ = z ₆ = z ₈;

4) z ₂ = z ₄;

5) z ₂ = z ₆ = z ₈.

Два комплексных числа z = а + bi и = а – bi, отличающиеся лишь знаком мнимой части, называются сопряженными.

Пример 3. Указать число, сопряженное к комплексному числу z = 7 – i.

Решение

Сопряженным к данному комплексному числу будет комплексное число = 7 + i.

Ответ: = 7 + i.

Тест 5. Указать число, сопряженное к комплексному числу z = 2 + 3 i:

1) = 2 – 3 i;

2) = –2 – 3 i;

3) = –2 – 3 i;

4) = 2 + 3 i;

5) = 3 + 2 i.

Тест 6. Указать число, сопряженное к комплексному числу z = 3 i:

1) = 3 i;

2) = 0;

3) = –3 i;

4) = 1;

5) = –1.

Запись числа z в виде z = а + bi называется алгебраической формой комплексного числа.

Рассмотрим действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме. Если z ₁ = а + bi, z ₂ = с + di, то

z ₁ + z ₂ = (а + bi) + (с + di) = а + bi + с + di = (а + с) + (b + d) i; (1)

z ₁ – z ₂ = (а + bi) – (с + di) = а + bi – с – di = (а – с) + (b – d) i. (2)

Пример 4. Даны два комплексных числа z ₁ = 2 + i и z ₂ = 4 – 3 i. Найти их сумму и разность.

Решение

В соответствии с формулами (1), (2) при а = 2, b = 1, с = 4, d = –3 получаем

z ₁ + z ₂ = (2 + i) + (4 – 3 i) = 2 + i + 4 – 3 i = (2 + 4) + (1 – 3) i = 6 – 2 i;

z ₁ – z ₂ = (2 + i) – (4 – 3 i) = 2 + i – 4 + 3 i = (2 – 4) + (1 + 3) i = –2 + 4 i.

Ответ: 6 – 2 i; –2 + 4 i.

Тест 7. Сумма комплексных чисел z ₁ = 1 + i и z ₂ = 2 – 2 i равна:

1) 4 – i;

2) 3 – i;

3) 5 + i;

4) 5;

5) 3 + i.

Тест 8. Разность комплексных чисел z ₁ = 3 + i и z ₂ = 4 – 2 i равна:

1) –1 – i;

2) 1+ i;

3) 1 – 3 i;

4) –1 + 3 i;

5) 1 – i.

Рассмотрим плоскость с декартовой прямоугольной системой координат Оxy. Всякое комплексное число z = a + bi можно изобразить точкой М (a; b) на плоскости Оxy такой, что а = Rez, b = Imz. И, наоборот, каждую точку М (a; b) координатной плоскости Оxy можно рассматривать как образ комплексного числа z = a + bi (рисунок 20).

Рисунок 20

Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью. Ось абсцисс называется действительной осью, так как на ней изображены действительные числа z = a +0 i = а. Ось ординат называется мнимой осью, так как на ней изображены чисто мнимые комплексные числа z = 0 + bi = bi.

Пример 5. На комплексной плоскости изобразить число z = 2 – 3 i.

Решение

Для данного комплексного числа а = Rez = 2, b = Imz = –3. На координатной плоскости Оxy (рисунок 21) число z = 2 – 3 i изображается точкой М (2; –3).

Рисунок 21

Комплексное число z = а + bi, заданное в алгебраической форме, можно представить и в другом виде. Изобразим число z точкой М (а; b) комплексной плоскости. Рассмотрим радиус-вектор этой точки (рисунок 22).

Рисунок 22

Тест 9. Указать, на какой комплексной плоскости точка М является изображением комплексного числа z = –5 + 2 i:

1) 2) 3)

4) 5)

Тест 10. Указать, на какой комплексной плоскости точка М является изображением комплексного числа z = –2 i:

1) 2) 3)

4) 5)

Модулем комплексного числа z = а + bi называется длина радиуса-вектора точки М (а; b), изображающей данное число.

Обозначение: или r.

Из прямоугольного треугольника ОМа (рисунок 22) по теореме Пифагора Следовательно, или
r

Пример 6. Найти модуль комплексного числа z = 1 – 3 i.

Решение

Для данного комплексного числа а = 1, b = –3. Следовательно,

= =

Ответ: .

Тест 11. Модуль комплексного числа z = 4 + 3 i равен:

1) 25;

2) 5;

3) 7;

4) 49;

5) 24.

Тест 12. Модуль комплексного числа z = – i равен:

1) –1;

2) 0;

3) 1;

4) 2;

5) 5.

Тест 13. Модуль комплексного числа z = 4 равен:

1) –1;

2) 0;

3) 1;

4) 4;

5) 2.

Аргументом комплексного числа z = а + bi называется величина угла φ (рисунок 22) между положительным направлением действительной оси Ох и вектором r, изображающим комплексное число. Обозначение: аrgz или φ.

Аргумент (главное значение аргумента) комплексного числа заключен в промежутке [0; 2π).

Множество аргументов числа z обозначается Аrgz и Аrgz = аrgz +
+ 2π k, k Î Z.

С помощью модуля r и аргумента φ комплексное число z = а + bi можно представить в другом виде. Так как а = r cosφ, b = r sin φ (рисунок 22), то z = а + bi = r cosφ + r sinφ i или z = r (cosφ + i sinφ), где

r = (3)

cosφ = , sin φ = . (4)

Запись числа z = а + bi в виде z = r (cosφ + i sinφ), где r – модуль, а φ – аргумент числа z, называется тригонометрической формой комплексного числа z.

Пример 7. Представить комплексное число z = –1 + i в тригонометрической форме.

Решение

z = –1 + i – алгебраическая форма комплексного числа z, при этом а =
= –1, b = 1. Применяя формулы (3), (4), находим r = =
= cosφ = sinφ =

Так как cosφ = sinφ = и φ Î [0; 2π), то φ = Следовательно, тригонометрическая форма данного числа z имеет вид

z =

Ответ: z =

Тест 14. Тригонометрическая форма комплексного числа z =
= имеет вид:

1)

2)

3)

4)

5)

Тест 15. Тригонометрическая форма комплексного числа z = –1 имеет вид:

1)

2)

3)

4)

5)

Два комплексных числа z ₁ = r ₁(cos φ ₁ + i sin φ ₁) и z ₂ = r ₂(cosφ ₂ + i sin φ ₂), заданных в тригонометрической форме, равны тогда и только тогда, когда их модули равны, а аргументы отличаются на величину, кратную 2π, т. е. z ₁ = z ₂ Û r ₁ = r ₂, φ ₁ = φ ₂ + 2 π k, k Î Z.

Пример 8. Указать, какие из комплексных чисел являются равными: z ₁ = z ₂ =

z ₃ = z ₄ =

Решение

Среди данных комплексных чисел выбираем сначала те, которые имеют равные модули: z ₁, z ₃, z ₄.Так как φ ₁ = φ ₃ =
φ ₄ = то равными являются комплексные числа z ₁ и z ₃.

Ответ: z ₁ = z ₃.

Тест 16. Даны комплексные числа z ₁ = z ₂ =
= z ₃ = z ₄ =
= 4 + Среди них равными являются:

1) z ₁ = z ₂;

2) z ₁ = z ₃;

3) z ₁ = z ₄;

4) z ₂ = z ₃;

5) z ₃ = z ₄.

Формула Эйлера имеет следующий вид:

(5)

Данная формула может быть записана в виде

(6)

Из формул (5) и (6) следует

сos .

Используя формулу (5), комплексное число z = r (cosφ + i sinφ) можно записать в виде z = rе^{i φ} , называемом показательной (или экспоненциальной) формой комплексного числа z.

Пример 9. Представить комплексное число z = i sin в показательной форме.

Решение

z = + i sin – тригонометрическая форма комплексного числа z, при этом r = , φ =

Поэтому показательная форма данного числа z имеет вид z = e

Ответ: z = e

Тест 17. Показательная форма комплексного числа z = 2 +
+ i sin имеет вид:

1)

2)

3)

4)

5)

Тест 18. Показательная форма комплексного числа z = –1 + i имеет вид:

1)

2)

3)

4)

5)

Ответы на тестовые задания