Прямая в пространстве

Прямая линия в пространстве может быть определена как пересечение двух плоскостей:

Прямая, проходящая через точки A (x_A; y_A; z_A) и B (x_B; y_B; z_B), описывается следующими уравнениями:

Прямая, проходящая через точку M (x ₀; y ₀; z ₀) и параллельная направляющему вектору а = (m; n; p), задается каноническимуравнением

и параметрическими уравнениями

, t Ï R.

Таким образом, положение прямой определяется ее направляющим вектором:

1) угол φ между двумя прямыми определяется как угол между векторами а ₁, а ₂; если а ₁ = (m ₁; n ₁; p ₁), а ₂ = (m ₂; n _2; , p ₂) − направляющие векторы двух прямых, то

2) условие параллельности прямых:

3) условие перпендикулярности прямых:

4) условие пересечения прямых и :

Пример 4. Написать уравнение прямой OA, проходящей через точку A (2; –1; 4) и начало координат 0.

Решение

Воспользуемся каноническим уравнением прямой. Для его записи надо знать хотя бы одну точку прямой и направляющий вектор а. Так как обе точки принадлежат прямой, то можно взять одну из них, а в качестве направляющего вектора – вектор = (2 – 0; –1 – 0; 4 – 0), так как он лежит на прямой, а значит, параллелен ей

Тест 9. Направляющий вектор прямой

равен:

1) а = (0; –2; 3);

2) а = (2; 4; 0);

3) а = (2; 4);

4) а = (2; 4; 3).

Тест 10. Прямые и

1) параллельны;

2) пересекаются;

3) скрещиваются;

4) перпендикулярны.

Пример 5. Определить, пересекаются ли прямые и .

Решение

Проверим условие пересечения прямых

18 + 54 – 10 – (24 + 9 – 45) = 0, 18 + 54 – 10– 24 – 9 + 45 = 0,

29 + 45 = 0, 74 ¹ 0 Þ прямые скрещиваются.

Прямая и плоскость в пространстве R ³

Пусть даны прямая и плоскость Ax + By + Cz = 0.

Чтобы найти их точку пересечения, надо решить систему этих трех уравнений.

Угол между прямой и плоскостью вычисляется по формуле

.

Условие параллельности прямой и плоскости:

Условие перпендикулярности прямой и плоскости: .

Условие того, что прямая лежит в плоскости:

Пример 6. Определить, лежит ли прямая в плоскости 2 x – y + z + 1 = 0.

Решение

Из уравнения прямой известна точка (0; 2; –1) этой прямой. Если прямая лежит в плоскости, то и эта точка принадлежит плоскости,
т. е. 2 × 0 – 2 + (–1) + 1 = 0, откуда 0 = 0.

Проверим второе условие: прямая и плоскость параллельны, т. е.
2 × 3 + (–1) × 0 + 1 × 4 = 0, но 10 ≠ 0. Следовательно, прямая не лежит в плоскости, а пересекает ее в точке (0; 2; –1).

Тест 11. Прямая и плоскость x + 4 y – 3 z + 7 = 0:

1) параллельны;

2) пересекаются;

3) прямая лежит в плоскости.

Ответы на тестовые задания