Векторная алгебра

При изучении различных разделов экономики, механики, физики, других учебных дисциплин приходится иметь дело с величинами, для характеризации которых в выбранной системе единиц достаточно указать их численные значения. Эти величины называются скалярными. К числу скалярных величин можно отнести длину, площадь, объем, массу, температуру и т. п. Встречаются, тем не менее, такие величины, для определения которых необходимо знать их направления в пространстве. Указанные величины будем называть векторными. Примерами векторных величин являются сила, скорость, ускорение.

Геометрические векторные величины изображаются с помощью направленных отрезков.

Связанным вектором (или направленным отрезком) называется любой отрезок прямой, если только указано, какая из двух ограничивающих его точек является начальной, какая – конечной. Если точка А – начало отрезка, а точка В – его конец, то связанный вектор будем обозначать Его направление будем указывать стрелкой, идущей от начала А к концу В.

Длиной (или модулем) связанного вектора называется длина отрезка АВ. Связанный вектор, у которого начало и конец совпадают, называется нулевым. Нулевой вектор обозначается 0, его длина равна 0: он направления не имеет.

Связанные векторы и называются сонаправленными, если являются сонаправленными лучи и противоположно направленными – если противоположно направлены эти лучи.

Два ненулевых связанных вектора и назовем равными (это обозначается = ), если они сонаправлены и имеют одинаковую длину.

Свободным вектором а (или просто вектором) назовем множество равных между собой связанных векторов. При дальнейшем из контекста будет ясно, какой вектор имеется в виду (связанный или свободный). Для задания вектора достаточно указать какой-либо один вектор из всего множества { AB, CD, MN, ¼ } равных связанных векторов, например, (рисунок 9).

Рисунок 9

Рассмотренные понятия (длина, направление и т. п.), которые введены для связанных векторов, имеют аналоги также и для свободных. Часто векторы обозначают одной жирной строчной буквой: = а (рисунок 10).

Линейные операции над векторами

Определим для свободных векторов операции их сложения, вычитания, умножения вектора на действительное число.

Суммой двух векторов a и b по правилу треугольника называется такой третий вектор с, что начало его совпадает с началом вектора а, а конец – с концом вектора b.

Иногда вместо с = а + b пишут Суммой а ₁ + а ₂ +…
… + а _n конечного числа векторов называется такой вектор а, который замыкает ломаную линию, построенную из данных векторов а ₁, а ₂, …, а _n таким образом, что начало каждого последующего вектора совпадает с концом предыдущего. Указанный вектор а направлен из начала первого вектора суммы в конец последнего (правило многоугольника) (рисунок 10).

c = a + b

Рисунок 10

На рисунке 11 изображена сумма а = а ₁ + а ₂ + а ₃ + а ₄ + а ₅ векторов а ₁, а ₂, а ₃, а ₄, а ₅.

Произведением вектора а на число a называется вектор b = a а, длина которого равна направление которого совпадает с направлением а, если a > 0, и противоположно направлению а, если
a < 0. По определению a а × 0 = 0 для любого a и 0 × а = 0 для любого а. На рисунке 12 изображены векторы а, 3 а, –2 а.

 

Рисунок 11

Рисунок 12

 

Векторы а, b, с называются коллинеарными, еслиих соответ-
ствующие связанные векторы параллельны одной и той же прямой. На рисунке 12 изображены коллинеарные векторы а, –2 а, 3 а.

Векторы а, b, с называют компланарными, если их соответствующие связанные векторы параллельны одной и той же плоскости (рисунок 13).

Углом jмежду векторами а и b называется величина наименьшего угла между связанными векторами и (рисунок 14). Понятно, что 0 £ j £ 0. Если , то векторы а и b называются ортогональными (перпендикулярными, это обозначается а ^ b).

 

Разностью а – b называется вектор с, равный сумме векторов а и
–1 b = – b, т. е. с = а – b = а +(– b). Итак, по определению, чтобы вычесть из вектора а вектор b, необходимо к вектору а прибавить вектор – b, который называется противоположным вектору b. Из рисунка 15 следует, что если на векторах а и b, приведенных к общему началу, построить параллелограмм как на сторонах и провести диагонали, то диагональ параллелограмма, исходящая из общего начала векторов а и b, равна их сумме а + b, а другая диагональ – их разности а – b.

Рисунок 15

 

Данный способ нахождения суммы а + b векторов а и b называется правилом параллелограмма.

Вектор, длина которого равна единице, будем называть единичным вектором, или ортом. Через а ⁰ будем обозначать единичный вектор, имеющий направление вектора а.

 

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒