Метод координат

Одна из главных особенностей метода аналитической геометрии заключается в употреблении чисел для определения положения геометрических образов. Числа, определяющие положение геометрических образов, называются их координатами.

Прямоугольной декартовой системой координат на плоскости называют совокупность трех условий:

1) две взаимно перпендикулярные прямые: ось x, или ось абсцисс, и ось y, или ось ординат;

2) начало координат – точка пересечения осей; положительное направление на каждой из осей;

3) единица масштаба на обеих осях одна и та же.

Положение точки М относительно выбранной системы координат определяется двумя координатами: абсциссой x, которая равна расстоянию от точки М до оси ординат, взятому со знаком «плюс» или «минус» в зависимости от того, находится ли точка М вправо или влево от нее; ординатой y, которая определяется как расстояние от точки М до оси абсцисс, взятому со знаком «плюс» или «минус», смотря по тому, находится ли точка сверху или снизу от оси абсцисс (рисунок 1).

M

1

0 1

Рисунок 1

Таким образом, каждой точке плоскости соответствует упорядоченный набор двух действительных чисел и наоборот.

Обозначение: М (x; y).

Оси координат делят всю плоскость на четыре квадранта (рисунок 2).

Рисунок 2

Пример 1. Точки имеют следующие координаты: А (0; 2), B (3; 0), C (2; 1), Д (–3; –1), O (0; 0).

Расстояние между двумя точками А (х_А; у_А) и В (х_В; у_В) вычисляется по формуле

=

Пример 2. Длина отрезка АВ, где А (2; –1), B (3; 5), равна

= = =

Пусть точка С лежит на отрезке АВ и делит его в отношении
λ = . Если А (х_А; у_А), В (х_В; у_В), то координаты точки С (х_С; у_С) определяются следующими формулами:

В частности, координаты середины отрезка АВ (т. е. при λ = 1) находятся по формулам

Пример 3. Отрезок АВ, где А (7; –2), B (–1; 3), разделен на три равные части. Найти координаты точек деления (рисунок 3).

A C D B

Рисунок 3

Решение

Точка С делит отрезок АВ в отношении = = поэтому

=

Таким образом, С

Точка D делит отрезок АВ в отношении = = = 2. Тогда

Таким образом, D

Тест 1. Координаты середины отрезка АВ, где А (0; 4), B (–3; –2):

1)

2)

3) (–3; 2);

4) (4; –5).

Тест 2. Длина отрезка АВ, где А (0; 4), B (–3; –2):

1)

2) 3;

3)

4) 4.

Ответы на тестовые задания