Оптимизация работы объекта управления для одного и нескольких параметров оптимизации для одно- и многоэкстремальной поверхности отклика

ОПТИМИЗАЦИЯ ПРОЦЕССОВ: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ ПРИ ОДНОМ ЭКСТРЕМУМЕ

Первым этапом оптимизации технологических про­цессов является определение критерия оптимизации - функции отклика У.

Задача оптимизации сводится к нахождению таких условий проведения процесса, при которых критерий оптимизации достигает экстремума. (примеры экстремумов max и min).

Сложность процессов делает нецелесообразным пол­ную расшифровку механизма явлений, происходящих в них. А также невозможность аналитиче­ского определения максимума. Действительно, если аналитиче­ская зависимость Y(X_i) неизвестна, нельзя найти экстремум путем решения системы дифф. уравнений

Тогда жела­тельно научиться управлять процессом эмпирически, а для описания технологических процессов наиболее приемлемыми являются имитационные модели, например, в виде полинома n-го порядка, а при исследовании процессов экспериментально - статистические методы.

Значения функции отклика У определяется как сумма истинного значения у_ист и случайной ошибки опыта Δ

Геометрическое изображение функции от­клика в факторном пространстве называется- поверхно­стью отклика.

При поиске экстремальной точки осуществляется локальное изучение поверхности от­клика по результатам ряда опытов, специально поставленных около исходной точки. Движение к экстремуму в n-мерном пространстве независимых переменных осуществляется обычно не непрерывно, а шагами. Существуют несколько экспериментальных методов организации движения.

Метод Гаусса — Зайделя. (" покоординатный", самый ранний) При оптимизации по этому методу последовательное продвижение к экстремуму осуществляется пу­тем поочередного варьирования каждым фактором до достижения частного экстремума функции отклика (рис. 1 для 2-х факторов).

Рис. 1. Поиск экстремума функции отклика методом Гаусса - Зайделя

На рисунке изо­бражены кривые равного уровня выхода функции отклика У для одного из технологических процессов, аналогично кривым равной высоты на географических картах. На основании эксперимента в исходной точке определяется направление по координате Х₁ или Х₂ (например Х₂, см. рис.) которое приводит к увеличению функции Y(X). Двигаемся в этом направлении, проверяя значение Y пока Y увеличивается, а затем - в том направлении Х₁, которое также приводит к увеличению Y. Таким образом, перемещаемся попеременно вдоль каждой из координатных осей факторного пространства; переход к новой (t+1)-й координате осуществляется при достижении частного экстремума целевой функции Y(X) по предыдущей координате, где частная производная =0:

Поиск экстремума прекращается в точке, движение из которой в любом направлении не приводит к увеличению значения выходного параметра (функции отклика У). Точность опре­деления оптимальной точки зависит от шага варьирования и, иногда, для увеличения точности уменьшают величину шага при приближении к экстремуму.

При вы­боре исходной точки и шага варьирования необходимо учи­тывать свойства процесса, особенности технологии и методов измерения, т. е. привлекать всю априорную информацию.

Метод Гаусса - Зайделя и его разновидности широко распространены на практике. Обычно экспериментаторы стараются изменять факторы по очереди, варьируя одним и стабилизируя в данной серии опытов другие факторы. Это связано с тем, что таким образом удается получить зависимость Y только от одного фактора, при этом такую зависи­мость легко представить графически; можно подобрать эмпириче­скую функцию и объяснить полученные результаты.

Основным недостатком метода являются большие временные за­траты при движении к оптимуму. Особенно сильно этот недостаток проявляется при большом числе факторов.

Метод случайного поиска. Характерной чертой этого метода яв­ляется случайный выбор направления движения на каждом шаге, т. е. одновременное изменение значений сразу всех факторов. Так, если изображающая точка после i-го шага занимает X_i положение в факторном пространстве, то следующий рабочий шаг будет совер­шен лишь после выполнения пробного эксперимента в точке X_i, = Xi + Z, где Z — случайный вектор определенной длины рис..2).

Рис. 2. Поиск экстремума функции отклика методом случайного поиска

Значения функции Y (Х i) и Y(Xi + Z) сравниваются и произво­дится (i+l)-й рабочий шаг вдоль вектора по направлению к экс­тремуму. Как правило, длина рабочего шага превышает длину пробного.

Критерием выхода в область экстремума целевой функции является возрастание числа неудачных шагов.

Очевидно, что метод случайного поиска очень прост, однако он применим лишь для очень простых ситуаций. Основными недостат­ками метода являются большая трудоемкость и длительность по­иска экстремума, а также возможность ошибки при попадании в область локального экстремума, т.к. поверхность отклика не исследуется.