Методические указания. В левой части формата расположить оси координат для построения трех проекций фигуры

В левой части формата расположить оси координат для построения трех проекций фигуры. Справа необходимо оставить место для построения аксонометрического изображения.

Решение задачи рекомендуется начинать с построения проекций фигуры. По данным таблицы 3 строятся фронтальная и горизонтальная проекции. При этом рекомендуется горизонтальную проекцию располагать отстоящей от оси координат на 10–15 мм, а фронтальную – по оси Х. Затем по двум заданным проекциям строится профильная проекция фигуры.

Во всех вариантах фигура представляет собой комбинированное тело, состоящее из простейших геометрических фигур – призмы и усеченного конуса. Призма является правильной, поэтому для построения ее основания задан диаметр описанной окружности.

Решение задачи рекомендуется начинать с анализа чертежа. Сквозное призматическое отверстие представляет собой набор фронтально-проецирующих плоскостей, которые в пересечении с призмой и конусом дают определенные линии пересечения. Сначала необходимо определить вид линии пересечения, который зависит от взаимного расположения геометрического тела и плоскости.

Пример 1. Пересечение призмы фронтально-проецирующей плоскостью.

В сечении призмы фронтально-проецирующей плоскостью получается плоский многоугольник, вершины которого строят как точки пересечения ребер призмы с секущей плоскостью (рис. 11). При этом на фронтальной плоскости проекции проекция многоугольника – отрезок, совпадающий в прямой – проекцией проецирующей плоскости.

Рис. 11. Пересечение призмы с проецирующей плоскостью

Пример 2. Пересечение конической поверхности плоскостью.

В зависимости от взаимного расположения конической поверхности вращения и плоскости получаются различные линии пересечения: прямые, окружность, эллипс, парабола, гипербола и даже точка. Вид указанных линий определяется положением секущей плоскости относительно вершины конической поверхности и соотношением между величинами углов наклона секущей плоскости и наклона образующей конической поверхности к ее оси.

На рисунке 12 показаны примеры пересечения конуса плоскостями различного положения. Изображения представлены фронтальными проекциями конуса и его оси вращения. Угол γ – угол наклона плоскости к оси вращения конуса.

Если прямой круговой конус пересекает плоскость, параллельную основанию, т.е. γ = 90°, то линия пересечения боковой поверхности конуса с плоскостью Q будет окружностью (рис. 12, а).

Если конус пересекается с наклонной плоскостью так, чтобы пересекались все его образующие, и угол γ ≠ 90°, то линия пересечения боковой поверхности конуса с плоскостью Q – эллипс (рис. 12, б).

Если секущая плоскость Р проходит через вершину конуса, то
плоскость может быть перпендикулярна или наклонна к основанию,
т.е. 0 ≤ γ < β. В этом случае линия пересечения боковой поверхности конуса с плоскостью ­– две пересекающиеся прямые (рис. 12, в). Необходимо заметить, что если γ = β, то секущая плоскость будет касаться конической поверхности по прямой линии.

Если секущая плоскость Т параллельна оси конуса, то линией пересечения является гипербола (рис. 12, г).

Если плоскость расположена параллельно одной образующей конуса, т.е. γ = β, то боковая поверхность конуса пересекается с этой плоскостью по параболе (рис. 12, д).

Например, для построения линии пересечения конуса фронтально-проецирующей плоскостью Q сначала необходимо определить вид линии пересечения. Секущая плоскость Q является наклонной и пересекает все боковые образующие конуса, т.е. γ > β, следовательно, в пересечении получится эллипс (рис. 12, б).

а) окружность б) эллипс в) две прямые

г) гипербола д) парабола

Рис. 12. Возможные случаи пересечения конуса вращения
с проецирующей плоскостью

Так как заданная плоскость является фронтально-проецирующей, то на плоскость проекций П₂ она проецируется в виде прямой линии, а значит, и искомая линия пересечения (эллипс) спроецируется в отрезок, так как лежит в плоскости Q (рис. 13). Точки А₂ и В₂ – это точки пересечения секущей плоскости с крайними образующими конуса. Отрезок А₂В₂ проецируется на фронтальную плоскость в натуральную величину и является большой осью эллипса. Проекции А₁ и В₁ опорных точек А и В лежат на горизонтальных проекциях левой и правой образующих конуса.

На передней и задней образующей конуса расположены опорные точки С и С', фронтальные проекции которых совпадают. Профильные проекции точек С и С' располагаются на профильных проекциях соответствующих образующих. Для построения горизонтальных проекций С'₁ и С₁ необходимо измерить расстояния Dy_C вдоль оси OY (от оси конуса до проекций точек) на профильной плоскости проекций и отложить их на горизонтальной плоскости проекции (от оси конуса до проекций точек).

Дальнейшие построения сводятся к нахождению проекций вспомогательных точек линии пересечения. Выбрав произвольную точку М(М₂) на фронтальной проекции эллипса, необходимо воспользоваться вспомогательной линией – параллелью (окружностью, принадлежащей боковой поверхности конуса).

Рис. 13. Линия пересечения конуса вращения с плоскостью – эллипс

Фронтальная проекция параллели – горизонтальная прямая, проходящая через М_{2 .} На горизонтальной плоскости проекций параллель проецируется в натуральной величине в виде окружности, радиус которой равен расстоянию от оси конуса до крайней точки параллели 1₂. Проекции М₁ и М'₁ определяются по линиям связи на проекции окружности.

Построив необходимое количество вспомогательных точек и соединяя их в логической последовательности, получим проекции эллипса. Видимость линий пересечения определяется по опорным точкам методом конкурирующих точек.

В случае пересечения конуса плоскостью, параллельной оси вращения конуса, линией пересечения плоскости с боковой поверхностью будет гипербола, так как γ = 0 (рис. 12, г).

Рис. 14. Линия пересечения конуса вращения с плоскостью – гипербола

Вершина гиперболы (точка С) получается в результате пересечения секущей плоскости Q с крайней очерковой образующей конуса. На фронтальной плоскости – это точка С₂. Горизонтальная и профильная проекции строятся по линиям связи на проекциях соответствующих образующих. Точки А и А' – опорные точки (завершающие точки ветвей гиперболы), проекции которых определяются как точки, принадлежащие основанию конуса. Промежуточная точка В находится с помощью параллели (рис. 14).

На рисунке 15 показано пересечение конуса плоскостью, параллельной одной из образующих конуса. Это случай, когда γ = β (рис. 12, д). В результате пересечения получается парабола.

Вершина параболы (точка С) получилась в результате пересечения секущей плоскости Q с крайней очерковой образующей конуса. Точки А и А' – опорные точки, проекции которых определяются как точки, лежащие на основании конуса. На передней и задней образующей конуса расположены опорные точки В и В', фронтальные проекции которых совпадают. Профильные проекции точек В и В' располагаются на профильных проекциях соответствующих образующих. Горизонтальные проекции находим по соответствующим расстояниям. Промежуточная точка М находится с помощью параллели.

Рис. 15. Линия пересечения конуса вращения с плоскостью – парабола

Для выполнения данного комплексного задания в левой части формата по заданным размерам вычертить исходные данные (табл. 3).

Прежде чем достраивать горизонтальную проекцию и строить профильную, необходимо провести анализ и выполнить дополнительные построения. Этапы выполнения задания представлены на рисунках 16 и 17.

а) проекции призмы б) проекции призмы и усеченного конуса

в) проекции комбинированного тела

и фронтальная проекция призматического отверстия

Рис. 16. Этапы построения исходных данных задания

а) линия пересечения призмы с плоскостью

б) линия пересечения конуса с плоскостью

Рис. 17. Этапы построения проекций призматического отверстия

На рисунке 17, б показано построение линии пересечения конуса с фронтально-проецирующей плоскостью Q. Построения пересечения с плоскостями Т и Р выполняются аналогично.

В правой части формата выполняется построение изометрической проекции построенной фигуры. В изометрии все коэффициенты искажения по осям координат равны между собой. Они, при масштабе 1, 22: 1, равны единице. Рекомендуется ось z аксонометрической проекции совместить с осью фигуры, разместив начало координат в центре нижнего основания. Построение каждой точки фигуры осуществляется по трем ее координатам (х, у, z), определяемым по комплексному чертежу. В практике наиболее распространен способ построения аксонометрической проекции точки по ее вторичной проекции.

Окружности основания поверхностей вращения отображаются в аксонометрии в виде эллипсов, которые можно построить по восьми точкам: четыре из которых – это точки окружности, расположенные на осях х и у, а четыре другие – определяются с помощью большой и малой оси эллипсов.

При графическом оформлении задания сохраняются все построения. Опорные точки следует обозначить. В аксонометрии линии невидимого контура можно не показывать.

Таблица 3

Исходные данные задания
«Комбинированное геометрическое тело»

Продолжение табл. 3

Исходные данные задания
«Комбинированное геометрическое тело»

Окончание табл. 3

Исходные данные задания
«Комбинированное геометрическое тело»