Линейных систем.

Как известно, поведение системы после снятия возмущения, т.е. ее свободное движение, описывается решением однородно­го дифференциального уравнения. Рассмотрим возможные виды свободного движения линейной системы в зависимости от корней ее характеристического уравнения.

Как уже указывалось, линейный объект с сосредоточенными параметрами может быть описан следующим дифференциальным уравнением:

(3 – 1)

Свободное решение этого уравнения имеет вид

где p_i - корни характеристического уравнения

(3 – 2)

В общем виде p_i, _i+1 = Re + iIm.

Возможны следующее варианты решения в зависимости от вида корней:

Элементарные составляющие свободного движения y_i, _i+1(t) соответствующие различным вариантам p_i, _i+1, показаны на рисунке 50,

Рис.50.

Как видно из рисунка, затухание свободного движения, т.е. возврат системы в исходное состояние равновесия, происходит только в том случае, когда действительная часть корней характе­ристического уравнения - отрицательная (рис. 50б y^*_i); при положительной действительной части корня свободное движение сиcтемы " разгоняется" (рис. 50б y^**_i); если α = 0, в системе пос­ле снятия возмущения устанавливаются незатухающие колебания (рис.50г), т.е, система находится на границе устойчивости. Теперь можно сформулировать общее условие устойчивости линей­ных систем: линейная система будет устойчива в том случае, если все корни характеристического уравнения имеют отрицательную действительную часть. Если хотя бы один корень имеет положительную действительную часть, система будет неустойчива. На рисунке 51 показано расположение корней p_i в плоскости комплексного переменного в зависимости от знака Re[p_i].

Рис.51.

Bсe корни P_i с отрицательной действительной частью будут лежать слева от мнимой оси, следовательно, границей области ус­тойчивости в плоскости p является мнимая ось. Поэтому усло­вие устойчивости линейной системы можно сформулировать иначе: линейная система будет устойчива, если все корни её характерис­тического уравнения лежат в плоскости комплексного переменного слева от мнимой оси.

Однако пользоваться этим условием на практике для оценки устойчивости реальных систем оказывается достаточно сложно. Это связано с тем, что реальные промышленные системы описываются дифференциальными уравнениями высокого порядка или содер­жат звенья чистого запаздывания, так что нахождение корней ха­рактеристического уравнения представляет трудную задачу. Для таких систем разработаны так называемые критерии устойчивости, позволяющие оценить устойчивость системы по некоторым другим признакам, определение которых оказывается

проще, чем нахождение корней характеристического уравнения.

Необходимое условие устойчивости линейных систем.

Предположим, что линейная система, описываемая дифференциаль­ным уравнением (3-1), устойчива. Следовательно, все корни её характеристического уравнения (3-2) имеют отрицательную дей­ствительную часть, т.е.

Представим полином, стоящий в левой части характеристического уравнения, в виде произведения II (p-p_i)

Таким образом, коэффициенты полинома, определяемые произведе­нием сомножителей вида (p+α _i) и [(p+α _i)²+ω _i²] при α _i> 0, будут положительными. Следовательно знак коэффициентов дифферен­циального уравнения (3-1) будет определяться знаком a_n.

Отсюда можно сформулировать следующий критерий:

для того, чтобы линейная система была устойчива, необходимо (но не достаточно), чтобы все коэффициенты ее характеристическо­го уравнения имели одинаковый знак (в частности, положительный).

Ниже будет показано, что для систем, описываемых дифференциальными уравнениями первого и второго порядка, необходимое условие устойчивости является и достаточным. Для более сложных систем применяются следующие критерии устойчивости:

1) алгебраические критерии Рауса и Гурвица;

2) критерий Михайлова;

3) амплитудно-фазовый критерий (критерий Найквиста).

Рассмотрим каждый из этих критериев.

§2. Алгебраический критерий устойчивости.

Критерии Рауса и Гурвица применяются для определения устойчивости системы, заданной дифференциальным уравнением.

Рассмотрим критерий Гурвица.

Пусть система описывается линейным дифференциальным уравнением

n-го порядка (3.1).

Составим из коэффициентов уравнения определитель ∆ _n.

(3 - 3)

Как видно из формулы, определитель можно составить по следующему правилу: в главной диагонали определителя записываются подряд все коэффициенты, начиная с a_n-1 по a₀. Затем заполняются столбцы, причем над диагональю выписываются подряд коэффициенты с убывающими номерами, под диагональю – с возрастающими номерами. В результате все нечетные строки содержат только коэффициенты с нечетными номерами, а четные строки – коэффициенты с четными номерами.

Диагональные миноры определителя ∆ _n обозначим:

Определители ∆ ₁, …, ∆ _n называются определителями Гурвица. В соответствии с критерием Гурвица для того, чтобы линейная сис­тема была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все опреде­лители ∆ ₁, …, ∆ _n были положительны (при условии, что a_n> 0). Если хотя бы один определитель отрицательный, система будет неустойчивой. Если один определитель равен нулю, а остальные положительны, то система находится на границе устойчивости.

Исходя из этого критерия, просмотрим, какие условия накладываются на коэффициенты дифференциальных уравнений 1-го, 2-го и 3-гo порядков:

Таким образом, для систем 1-го и 2-го порядков необходимое условие устойчивости - положительность всех коэффициентов дифференцлельного уравнения - оказывается и достаточным. Для систем более высоких порядков положительности коэффициен­тов оказывается недостаточно для устойчивости и на величины коэффициентов накладываются дополнительные ограничения. Например, для системы 3-го порядка должно выполняться неравен­ство a₁a₂> a₀a₃.

Примеры: Исследовать устойчивость системы, дифференциальное уравнение которого имеет вид:

Составим определители Гурвица:

система устойчива

Так как один определитель ∆ ₄=0, а все остальные определи­тели положительны, система находится на границе устойчивости.

Система неустойчива, так как ∆ ₃< 0. Дальнейшее исследование не имеет смысла, так как независимо от знака остальных определителей, система будет неустойчивой.

Система неустойчива, так как ∆ ₃< 0.

Критерий Рауса принципиально не отличается от крите­рия Гурвипа, но удобнее в вычислительном отношении при исследовании дифференциальных уравнений выше пятого порядка.

§3. Критерий Михайлова

Так же как и алгебраические критерии, частотный критерий Михайлова применяется в тех случаях, когда задано дифференциальное уравнение системы. Пусть уравнение системы имеет вид

a_ny⁽ⁿ⁾(t)+a_n-1y^(n-1)(t)+…+a₁y^’(t)+a₀y(t)=f(t).

Обозначим полином, стоящий в левой части характеристического уравнения, через D(p), т.е. D(p)=a_npⁿ+a_n-1p^n-1+…+a₁p+a₀. Если p_i - корень характеристического уравнения, то D(p) можно представить в виде произведения сомножителей (p-p_i), т.е.

D(p)=a_n(p-p₁)(p-p₂)…(p-p_n) (3-4)

Так как независимая переменная р может принимать любые значения, то можно положить её равной iω, где ω -действительная переменная, изменяющаяся от - ∞ до ∞. Произведя в (3-4) замену p=iω, получим:

D(iω)=a_n(iω -p₁)(iω -p₂)…(iω -p_n)

Многочлен D(iω) называется вектором Михайлова.

Таким образом вектор Михайлова представляет собой функцию комплексного переменного iω и при изменении ω от - ∞ до ∞ конец вектора D(iω) описывает в плоскости комплексного переменного кривую, называемую годографом вектора Михайлова. Обычно рассматривают только положительные значения ω, т.е. 0≤ ω ≤ ∞. Приведем формулировку и доказательство критерия Михайлова для этого случая:

Система будет устойчива в том случае, если годограф вектора Михайлова D(iω) при изменении частоты от 0 до ∞ проходит последовательно против часовой стрелки n квадрантов, начиная с положительной ветви действительной оси, нигде не обращаясь в нуль и не пересекаясь (n - по­рядок дифференциального уравнения). Иными словами, вектор D(iω) при изменении ω от 0 до ∞ совершает против часовой стрелки поворот на угол n π /2.

Если система неустойчива и имеет m корней характерис­тического уравнения в правой полуплоскости, то вектор Михайлова при изменении частоты от 0 до ∞ совершает против часовой стрелки поворот на угол (n-2m) π /2.

На рисунке 52 приведены примеры годографов D(iω).

Системы устойчивы.	Системы неустойчивы.

Рис.52.

Рассмотрим поведение вектора Михайлова в частных случаях, когда система находится на гранте устойчивости.

1. p₁=0; остальные корни лежат в левой полуплоскости

(система нейтральна).

D(iω)=a_niω (iω -p₂)(iω -p₃)…(iω -p_n)

При ω =0, D(i0)=0, т.е., годограф вектора Михайлова начинается из начала координат (рис.53а).

2. p_{1, 2}=±iω ^*; остальные корни лежат в левой полуплоскости

D(iω)=a_n(iω -iω ^*)(iω +iω ^*)(iω -p₃)…(iω -p_n)

При ω =ω ^* D(iω ^*)=0, т.е. годограф вектора Михайлова проходит через начало координат на частоте ω ^* (рис. 53б).

Рис.53.

Часто вместо построения всего годографа вектора Михайлова оказывается достаточным исследовать значения корней его действительной и мнимой части.

Действительно, при последовательном прохождении n квадрантов годограф поочередно (n-1) раз пересекает оси координат, т.е. последовательно обращается в нуль мнимая и действитель­ная части D(iω) (см.рис.54.)

Рис.54.

На этом свойстве основано следствие из критерия Михайлова, называемое “критерием перемежаемости”:

для того чтобы система была устойчива, необходимо, чтобы корни двйствительной и мнимой частей вектора Михайлова перемежались друг с другом.

Пример 1. Исследовать устойчивость объекта, описываемого следующим дифференциальным уравнением:

y⁽⁵⁾(t)+y⁽⁴⁾(t)+y^///(t)+y^//(t)+y^/(t)+y(t)=f(t)

Воспользуемся критерием Михайлова.

Характеристическое уравнение системы имеет вид:

p⁵+p⁴+p³+p²+p+1=0

Вектор Михайлова будет:

D(iω)=(iω)⁵+(iω)⁴+(iω)³+(iω)²+iω +1=U(ω)+iV(ω)

Выделим действительную и мнимую часть D(iω):

D(iω)=(ω ⁴-ω ²+1)+i(ω -ω ³+ω ⁵),

где U(ω)=ω ⁴-ω ²+1 – дествительная часть;

V(ω)=ω (1-ω ²+ω ⁴). – мнимая часть.

Перед построением всего годографа D(iω) определим точки его пересечения с действительной и мнимой осями, т.е. найдем действительные корни полиномов U(ω) и V(ω):

1) U(ω)=0; ω ⁴-ω ²+1=0

Это уравнение не имеет действительного решения, следовательно годограф D(iω) ни разу не пересекает мнимую ось. Дальнейшие расчеты можно не проводить, так как из первого заключения ясно, что система неустойчива. Действительно, по кри­терию Михайлова годограф D(iω) устойчивой системы 5-го поряд­ка при изменении ω от 0 до ∞ должен пройти 5 квадрантов начиная с 1-го, т.е. должен пересечь мнимую ось 2 раза.

Полное построение годографа вектора Михайлова показано на pисунке, из которого видно, что годог­раф целиком лежит в первом квадранте.

Рис. 55.

Пример 2.

y⁽⁵⁾(t)+y⁽⁴⁾(t)+11y^///(t)+5y^//(t)+18y^/(t)+4y(t)=f(t).

Характеристическое уравнение:

p⁵+p⁴+11p³+5p²+18p+4=0

Вектор Михайлова:

D(iω)=(iω)⁵+(iω)⁴+11(iω)³+5(iω)²+18iω +4=U(ω)+iV(ω)

где U(ω)=ω ⁴-5ω ²+4; V(ω)=ω (ω ⁴-11ω ²+18)

Вычислим корни U(ω) и V(ω):

1) U(ω)=0; ω ⁴-5ω ²+4=0; ω _{1, 2}^U=±1; ω _{3, 4}^U=±2.

2) V(ω)=0; ω (ω ⁴-11ω ²+18)=0; ω ₁^V=0; ω _{2, 3}^V=±1, 41; ω _{4, 5}^V=±3.

Расположив положительные корни U(ω) и V(ω) на числовой оси ω, видим, что критерий перемежаемости корней выполняет­ся, т.е. корни U(ω) и V(ω) чередуются друг с другом. Более полное исследование поведения U(ω) и V(ω) с измене­нием ω между двумя соседними корнями позволяет построить графики U(ω) и V(ω) и годограф D(iω). Результаты построения показаны на рисунке 56, из которого видно, что исследуемая система устойчива (графики построены не в масштабе).

Рис.56.

Алгебраический критерий-Гурвица и частотный критерий Михайлова не могут быть использованы для анализа АСР с запаздыванием.

§4. Амплитудно-фазовый критерий (Найквиста).

Амплитудно-фазовый критерий Найквиста служит для определе­ния устойчивости замкнутой системы, если известна амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы. Этот критерий имеет большое практическое значение. Действительно, разомкнутая систе­ма представляет собой последовательное соединение объекта и регулятора (рис. 57).

Рис.57

При расчете АСР характеристики объекта и структура регуляторов бывают уже известны, следовательно расчет амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы и исследование ее устойчи­вости не представляет принципиальных затруднений. Однако не всякая устойчивая разомкнутая система сохраняет свою устойчи­вость и в замкнутом состоянии и, наоборот, неустойчивую разом­кнутую систему (при неустойчивом объекте регулирования) можно сделать устойчивой в замкнутом состоянии за счет правильного выбора настроек регулятора. Применение критерия Найквиста позволяет заменить более сложную задачу исследования устойчивости замкнутой системы более простым исследованием разомкнутой системы.

Формулировка критерия Найквиста: 1) если разомкнутая система устойчива, или нейтральна, то замкнутая система будет устойчи­ва в том случае, если амплитудно-фазовая характеристика разом­кнутой системы не охватывает точку с координатами (1, i0); замкнутая система будет неустойчива, если АФХ разомкнутой сис­темы охватывает точку (1, i0) (рис. 58).

2) если разомкнутая система неустойчива, то замкнутая система будет устойчива в том случае, если АФХ разомкнутой системы охватывает точку (1, i0) столько раз, сколько корней характеристического уравнения разомкнутой системы лежит в правой полуплоскости. Под охватом точки

(1, i0) m раз мы будем понимать поворот вектора W_раз(iω)-1 при изменении частоты от 0 до ∞ на угол mπ (рис.58).

Если разомкнутые системы устойчивы, то замкнутые системы: 1- устойчива 2- на границе устойчивости 3- неустойчива	Разомкнутые системы неустойчивы, замкнутые системы устойчивы: 4-m=8, угол поворота < π 5 m=2, угол поворота 2π

Риc. 58

Пример: Требуется определить, будет ли устойчивой замкнутая система, состоящая из объекта и регулятора с передаточными функциями:

W_об(p)=e^-p/_p+1 и W_рег(p)=-2.

В решении задачи можно выделить 3 основных этапа:

1. Исследование устойчивости разомкнутой системы (по крите­риям Гурвица или Михаилова), или иным способом.

2. Построение АФХ разомкнутой системы W_раз(iω).

3. Исследование поведения годографа W_раз(iω) относительно

точки (1, i0)

В нашем примере не требуется применения каких-либо критери­ев устойчивости, так как разомкнутая система представляет собой

последовательное соединение устойчивых элементарных звеньев: чистого запаздывания, апериодического звена 1-го порядка и уси­лительного звена и, следовательно, будет устойчивой. Её переда­точная функция

W_раз(p)=-2e^-p/p+1. Построим АФХ разомкнутой систе­мы:

Рис. 59

Из графиков видно, что годограф W_раз(iω) пересекает положитель­ную ветвь действительной оси бесконечное число раз. Найдем пер­вую точку пересечения на меньшей частоте ω _A. Из уравнения φ (ω _A)=0 найдем:

-ω _A+π -arctg ω _A=0; ω _A≈ 2, 1

Определяем M_раз(ω _A)=²/_{√ 2, 1}²₊₁; M_раз(ω _A)=0, 86.

Так как M_раз(ω _A)< 1, т.е. АФХ разомкнутой системы не охваты­вает точку

(1, i0), следовательно замкнутая система будет устойчива.

Пример 2: Исследовать устойчивость замкнутой системы при различных значениях K_рег:

Характеристическое уравнение, определяемое знаменателем

W_раз(p), будет p-1=0.

Так как коэффициенты этого уравнения имеют разные знаки, то разомкнутая система неустойчива и имеет один положительный ко­рень характеристического уравнения.

Её АФХ будет:

Рис. 60

Исходя из критерия Найквиста, в нашем случае замкнутая система может быть устойчивой, если W_раз(iω) охватывает точку (1, i0) один раз (рис.86).

В нашем примере это возможно при условии K_обK_рег> 1, или K_рег> 1/K_об. При K_рег< 1/K_об замкнутая система будет неустойчивой.

Поскольку рассматриваемая замкнутая система состоит из двух элементарных звеньев, для неследования ее устойчивости нетрудно применить также алгебраический критерий. Действительно, переда­точная

функция замкнутой системы будет:

Характеристическое уравнение замкнутой системы запишется в виде:

p+(K_обK_рег-1)=0.

Исходя из необходмого и достаточного условия устойчивости системы

1-го порядка, получим:

Глава 4. КАЧЕСТВО ПРОЦЕССОВ

АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ.

Как уже указывалось, одной из основных проблем, возникающих при построении систем автоматического регулирования, является проблема устойчивости. Однако это не единственная проблема. Суще­ствует и другая, не менее важная - проблема качества процессов регулирования. Действительно, создание только устойчивых систем, находящихся вблизи от границы устойчивости и не обладающих за­пасом устойчивости, не может удовлетворить ни одну реальную сис­тему, так как любая флуктуация параметров может вывести систему из устойчивого режима. Таким образом запас устойчивости АСР яв­ляется одним из показателей ее качества. Запас устойчивости мо­жет быть задан различно в зависимости от типа критерия устойчи­вости: для критерия Михайлова это будет окружность определенного радиуса с центром в начале координат (рис. 61а), для Найквиста - окружность с центром в точке (1, i0) (рис. 61б), в плоскости кор­ней характеристического уравнения - линии в левой полуплоскости, находящиеся на определенном расстоянии от мнимой оси и т.д.

Рис. 61.

Кроме запаса устойчивости к системе автоматического регулиро­вания предъявляется также ряд требований, предусмотренных техно­логическим регламентом: например, задаются допустимые отклоне­ния регулируемых параметров от номинального значения, допусти­мая скорость изменения параметров и т.п. Количественная оценка качества процессов регулирования производится с помощью различных критериев.

§1. Показатели качества переходных процессов.

Наиболее распространенными критериями качества, применяемыми в автоматике, являются:

1) статическая ошибка регулирования y_ст (рис. 62), которая равна разности между установившися значением регулируемой величины и её заданным значением y_зад.

2) динамическая ошибка регулирования y_дин (рис.63), равная наибольшему отклонению в переходном процессе регулируе­мой величины от ее установившегося значения;

3) время регулирования T, которое приближенно определяется как время, за которое разность между текущим значением регулируемой величины и её заданным значением y_зад (или y_уст) становится меньше ε;

Рис.62	Рис.63

4) степень устойчивости η (рис. 64), которая характеризует запас устойчивости в плоскости корней характеристического уравнения и равна расстоянию до мнимой оси ближайшего корня (или пары корней), т.е. η =min׀ Re(p_i)׀.

Рис. 64	Рис. 65

Степень устойчивости характеризует интенсивность затухания наиболее медленно затухающей неколебательной составляющей пе­реходного процесса. Например двум разным действительным корням p₁=-α ₁ и p₂=-α ₂ cсоответствуют две элементарные составляющие свободного движения системы:

Причем, чем меньше абсолютное значение корня, тем медленнее затухает y_i (рис. 65). Очевидно, что затухание свободного движения y_св, равного сумме -y_i, определяется наиболее медлен­но затухающей составляющей, т.е. наименьшим по абсолютному значению корнем характеристического уравнения.

Если ближайшей к к мнимой оси окажется пара комплексных сопряженных корней, то соответствующая ей y_i будет колебательной составляющей, огибающая которой определяется действительной частью корня, т.е. η (рис. 66а). Представим себе теперь два колебательных процесса

Рис.66

с одинаковой огибающей, но равной частотой (рис.66б). При одинаковой степени устойчивости качество этих процессов сущес­твенно отличается друг от друга, в частности скорость изменения координаты увеличивается с увеличением частоты. Следовательно степени устойчивости оказывается недостаточно для оценки качес­тва колебательных переходных процессов. Для этой цели в плоскос­ти корней характеристического уравнения вводится другой крите­рий качества - степень колебательности.

5) Степенью колебательности m называется модуль отно­шения действительной и мнимой частей корня характеристического уравнения, имеющего минимальное по сравнению с другими корнями значение этого отношения, т.е.

Поясним это определение. Если в плоскости корней характеристи­ческого уравнения устойчивой системы провести из начала координат два луча OA и OB (рис.67а) таким образом, чтобы одна пара комплексных сопряженных корней находилась на этих лучах, а все остальные корни лежали слева от них, то тангенс угла, заключенного между лучами и мнимой осью, будет равен отношению действительной и мнимой частей корней, лежащих на этих лучах, и является степенью колебательности данной системы, так как для любой дру­гой пары корней это отношение больше, чем m (в частности, для действительных корней это отношение равно бесконечности).

Рис. 67

Как связана степень колебательности с качеством переходного процесса? Вернемся к рисунку 66. Здесь два колебательных пе­реходных процесса при одинаковой степени yстойчивости обладают различной интенсивностью затухания за один период, причем для процесса с меньшей частотой этот показатель выше, чем более высокочастотного процесса. Количественной оценкой интенсивности затухания колебательных процессов может служить степень затухания ψ, определяемая по формуле (рис. 67б)

В то же время процессы y₂ и y₃ характеризуются различными степенями колебательности, а именно

m₁=^η /_{ω 1}; m₂=^η /_{ω 2}

причем, так как ω ₁< ω ₂, m₁> m₂. Таким образом степень колебательности, так же как и степень устойчивости, характеризует интенсивность затухания колебательной составляющей за один период. Для всего переходного процесса, который может включать несколько колебательных составляющих, степень колебательности характеризует затухание наиболее медленно затухающей составляющей.

Между степенью устойчивости и степенью колебательности существует однозначная зависимость. Действительно, если

Очевидно, что степень затухания изменяется в пределах от 0 до 1, а степень колебательности - в пределах от 0 до ∞. Ниже приводится таблица соответствия между m и ψ.

Наиболее часто используемые на практике значения лежат в интервале от m=0, 221 (ψ =0, 75) до m=0, 366 (ψ =0, 9).

6) Интегральные критерии качества.

Одно из достоинств интегральных критериев состоит в том, что для их вычисления не требуется построение самого процесса регу­лирования, которое часто сопряжено с определенными трудностями. Оценка интегральных критериев может производиться по некоторым промежуточным характеристикам, которыми мы обычно располагаем при проектировании CAP.

Отметим, что некоторые из рассмотренных выше показателей также могут быть вычислены без построения переходного процесса (y_ст, η, m).

Различают несколько видов интегральных критериев:

1) линейный интегральный критерий I_л, служащий для оценки качества неколебательных процессов и определяемый формулой

(4-1)

Рис.68

Геометрически критерий I_л характеризует площадь, заключенную между кривой процесса регулирования и осью абсцисс (рис.68а). Очевидно, что увеличение динамической ошибки и времени регулирования приводит к увеличению и I_л.

Величину этого критерия можно вычислить без построения про­цесса регулирования, если известна передаточная функция замкнутой системы W_зс(p) и входной сигнал x(p).Действительно, форму­лу (4-1) можно записать иначе:

Применяя далее теорему о конечном значении функции, получим

т.е. линейный интегральный критерий равен произведению передаточной функции на изображение по Лапласу входного сигнала, взятых при p=0.

2) модульный критерий I_м (рис.68б) определяется по формуле

и применяется для оценки качества колебательных процессов (для неколебательннх процессов он совпадает с линейным крите­рием). Модульный критерий применяется обычно при использовании для расчета САР вычислительной техники, когда операция взятия модуля не подставляет трудности.

3)интегральный квадратичный критерий I_кв (рис.68в) наиболее рас­пространенный критерий качества, определяемый формулой

Необходимо отметить, что в квадратичный критерий разные по ве­личине ординаты переходного процесса входят с разным весом: наибольшее значение имеет начальный участок процесса, когда наблюдаются наибольшие отклонения регулируемой величины; " хвост" же переходного процесса практически не влияет на I_кв. Поэтому, стремясь минимизировать I_кв, мы фактически минимизируем наибольшие отклонения регулируемой величины.

Квадратичный критерий, так же как и линейный, можно вычислить без построения переходного процесса, по частотной характеристике замкнутой системы и преобразованию по Фурье от входного сиг­нала. Для этого используется формула Релея, которая выводится с использованием преобразования Фурье от y(t):

4) обобщенные интегральные критерии I_об. Эта группа критериев отличается от обычного квадратичного критерия тем, что помимо ординат регулируемой величины учитывают также и ее производные. Простейшим примером обобщенного критерия может служить критерий, учитывающий y(t) и скорость ее изменения,

Каким же образом используются все рассмотренные критерии качества? Прежде всего необходимо отметить, что обеспечить оп­тимальные (наилучшие) значения одновременно всех показателей качества невозможно. Например, повышение степени устойчивости и степени колебательности, т.е. увеличение запаса устойчи­вости системы, приводит к снижению скорости регулирования, а это влечет за собой увеличение динамической погрешности регулиро­вания. С другой стороны при использовании какого-либо одного критерия можно получить бесчисленное множество процессов, удов-летворяющих этому критерию. На рисунке 69 приведены три процесса, имеющие одинаковые значения I_кв, но существенно отли­чающиеся друг от друга по динамическим ошибкам, времени регулирования и степени затухания.

Рис. 69.

Поэтому при расчете системы регулирования обычно используются два критерия; для одного из них добиваются оптимального (т.е. максимального и минимального) значения, а по-другому вводится ограничение в виде неравенства. Нами в дальнейшем будут использоваться два критерия: сте­пень колебательности и интегральней квадратичный критерий. При этом под оптимальным процессом регулирования будет пониматься процесс, который обеспечивает минимум интегрального квадратич­ного критерия и обладает степенью колебательности не ниже заданной.

§2. Расширенные частотные характеристики.

При разработке систем автоматического регулирования критерии качества применяются не только для оценки готовых систем, но и, что особенно важно, для расчета АСР исходя из заданных требова­ний, предъявляемых к качеству переходных процессов. Одним из наиболее часто используемых в подобных расчетах показателей качес­тва является степень колебательности m, которая вводится в расчет с помощью расширенных частотных характеристик. Что такое расширенные частотные характеристики?

Рассмотрим две плоскости комплексного переменного: плоскость корней характеристического уравнения и плоскость амплитудно-фазовой характеристики.Обычные частотные характеристики полу­чаются из передаточной функции заменой р на iω. При этом годограф W(iω) является отображением мнимой оси плоскости кор­ней на плоскость АФХ, так как именно вдоль этой оси p=iω.

Рис. 70.

Проведем в плоскости р два луча ОА и ОВ под углом arctg m, где

m - некоторая заданная степень колебатель­ности. Комплексная переменная р на этих лучах имеет координа­ты -α, iω, связанные между собой соотношением α =mω. Подставив в передаточную функцию

p=-mω +iω, получим W(-mω, iω), которая и называется расширенной амплитудно-фазовой характеристикой (РАФХ). Таким образом годограф W(m, iω)(ω > 0) является отображением луча АО на плоскость АФХ. Как в обычных частотных характеристиках, в расширенных характеристиках выделяют расши­ренную амплитудно-частотную характеристику (РАЧХ) M(m, ω) и расширенную фазо-частотную характеристику (РФЧХ) φ (m, ω), связанные между собой соотношением:

W(m, iω)=M(m, ω)e^{iφ (m, ω )}.

Почему W(m, iω) называются расширенными характеристиками и как они связаны с обычными ЧХ? Посмотрим это на примере апериодического звена первого порядка. Его передаточная функция

Произведем замену p=-mω +iω. Получим

Сравнение обычных и расширенных характеристик (рис.71) пока­зывает, что для любой частоты значения M(m, ω) больше по абсолютной величине, чем соответствующие значения M(ω) и φ (m, ω) φ (ω). Поэтому годограф W(m, iω) проходит шире, чем годограф W(iω).

Рис.71.

Глава 5. ТИПОВЫЕ ЗАКОНЫ РЕГУЛИРОВАНИЯ.

Законом регулирования называется уравнение, описывающее зависимость между входом регулятора ∆ y=y-y_зд и его выходом x_p

(рис. 72).

Рис. 72.

Промышленные регуляторы обладают следующими законами регулирования:

- пропорциональный - (П);

- интегральный - (И);

- пропорционально-интегральный - (ПИ);

- пропорционально-дифференциальный - (ПД);

- пропорционально-интегрально-дифференциальный (ПИД).

Таким образом законы регулирования промышленных регуляторов включают в себя три основные составляющие: пропорциональную (II), интегральную (И) и дифференциальную (Д). Перейдем к рассмотрению этих простейших законов регулирования.

§1.Простейшие законы регулирования.

1) Пропорциональный закон регулирования описывается уравнением, x_р(t)=-S₁∆ y(t), (5-1)

где S₁ - параметр настройки регулятора, а знак (-), как и во всех остальных законах регулирования, учитывает тот факт, что регулятор включается в систему по принципу отрицательной обратной связи. Как видно из уравнения (5-1), пропорциональным регу­лятором служит обычное усилительное звено с переменным коэффициентом усиления, включенное в отрицательную обратную связь к объекту. Динамические характеристики П-регулятора имеют вид:

- передаточная функция: W(p)=-S₁

- частотные характеристики: W(iω)=-S₁=S₁e^iπ

M(ω)=S₁; φ (ω)=π

Рис.73.

- кривая разгона x_p(t)=-S₁I(t).

Рис.74.

Рассмотрим особенности АСР пропорциональным регулятором. Как видно из уравнения (5-1), в состоянии равновесия выход­ной сигнал регулятора пропорционален ∆ y, т.е. разности между y и y_зад, причем в общем случае

эта разность не равна кулю. Следовательно, АСР с пропорциональным регулятором обладает статической ошибкой регулирования, равной y_уст-y_зад. Для того, чтобы ответить на вопрос, от чего зависит величина статической ошибки и каким образом можно ее уменьшить, рассмотрим процесс регулирования в замкнутой АСР (рис.72) при x(t)=I(t) и y_зад=0. Тогда y_cт=lim_{t→ ∞} y(t). Воспользуемся теоремой о конечном значе­нии функции:

Таким образом, статическая ошибка регулирования зависит от коэффициентов усиления объекта и регулятора, причем, чем больше S₁, тем меньше статическая ошибка, но для того, чтобы при K_об≠ 0 y_ст=0 нужно, чтобы S₁→ ∞. Следовательно наличие статической ошибки регулирования является органическим недостатком АСР с пропорциональным регулятором.

2. Интегральный закон регулирования описывается уравнением.

(5-2)

где S₀ - параметр настройки регулятора. Очевидно, что интегральным регулятором может служить интегрирующее звено с переменным передаточным коэффициентом, включенное в отрицательную обратную связь к объекту. Динамические характеристики И-регулятора имеют

вид - передаточная функция: W(p)=-S₀/p

- частотные характеристики:

Рис. 75.

- перходные функции:

Рис.76.

Посмотрим, чему равняется величина статической ошибки АСР с интегральным регулятором. Пусть x(t)=I(t) и y_зад=0. Тогда

Таким образом при использовании интегрального регулятора стати­ческая ошибка регулирования всегда равна нулю. В этом заключается основное достоинство интегрального регулятора.

3. Дифференциальный закон регулирования описывается уравнением:

(5-3)

где S₂ - параметр наcтройки. Уравнение (5-3) является уравнением идеального дифференцирующего звена, поэтому на прак­тике закон может быть реализован лишь приближенно в определенном интервале частот. Дифференциальная состав­ляющая вводится в закон регулирования для того, чтобы увеличить быстродействие регулятора, так как в этом случае регулятор реа­гирует не на абсолютное значение регулируемой величины, а на скорость ее изменения. Чисто дифференцирующий регулятор неприменим для регулирования, так как при любом постоянном значении регулируемой величины выходной сигнал такого регулятора равен нулю.

Рассмотрим динамические характеристики Д-закона регулирова­ния:

- передаточная функция W(p)=-S₂p;

- частотные характеристики:

Рис.77.

кривая разгона: x_p(t)=-S₂δ (t).

Рис.78.

Как уже отмечалось выше, чисто дифференцирующий регулятор на практике не применяется, а вводится в качестве одной из состав­ляющих в сложных законах регулирования для улучшения качества переходного процесса. Перейдем к рассмотрению этих законов регулирования.

§2. Основные законы регулирования промышленных регуляторов.

1. Пропорционально-дифференциальный закон регулирования описывается уравнением.

(5-4)

Таким образом этот регулятор по существу состоит из двух пара­ллельно включенных составляющих: пропорциональной и дифференци­рующей. Динамические характеристики ПД-регулятора:

- передаточная функция W(p)=-(S₁+S₂p);

- частотные характеристики:

Рис.79.

- кривая разгона X_p(t)=-S₁1(t)-S₂δ (t).

Рис.80.

С точки зрения качества процесса регулирования в замкнутой АСР пропорционально-дифференциальный регулятор обладает особен­ностями обоих простейших законов регулирования. Наличие воздей­ствия по производной от ∆ y увеличивает быстродействие регуля­тора, благодаря чему уменьшается динамическая ошибка регулиро­вания по сравнению с АСР с пропорциональным регулятором (рис.80). В установившихся режимах, когда ∆ y^/=0 регулятор ведет себя как обычный П-регулятор. Очевидно, что величина статической ошибки должна остаться такой же, как и в случае применения П-регулятора. Действительно,

На рисунке 81 приведены для сравнения процессы регулирова­ния одного объекта П- и ПД-регуляторами (S₁=const).

Рис.81.

2. Пропорционально-интегральный закон регулирования описы­вается уравнением

(5-5)

и представляет собой параллельное соединение пропорциональной

и интегральной составляющих. Динамические характеристики

ПИ-регулятора: передаточная функция W(p)=-(S₁+S₀/p); (5-6)

- частотные характеристики:

- переходные функции:

кривая разгона ИПФ

x_p(t)-(S₁I(t)+S₀t), x_p(t)=-(S₁δ (t)+S₀).

Рис.82.

Рис.83.

Пропорционально-интегральный регулятор сочетает в себе до­стоинства П и И-законов регулирования, а именно пропорциональ­ная составляющая обеспечивает достаточное быстродействие регулятора, а интегральная составляющая ликвидирует статическую ошибку регулирования.

Действительно, при x(t)=I(t) и y_зад=0

В начале процесса регулирования основную роль играет пропорцио­нальная составляющая, так как интегральная составляющая зависит не только от абсолютного значения регулируемой величины, но и от времени (при t≈ 0 ₀∫ t ∆ ydt≈ 0 независимо от значения ∆ у, кроме ∆ y=δ (t)). C увеличением времени возрастает роль ин­тегральной составляющей, обеспечивающей равенство нулю стати­ческой ошибки. Подбором параметров настройки S₁ и S₀ можно изменять удельный вес каждой составляющей. В частности, при S₀ получается П-регулятор, а при S₁=0 - И-регулятор.

На рисунке 84 приведены процессы регулирования одного и того же объекта пропорциональным, интегральным и ПИ-регуляторами при оптимальных параметрах настройки.

Рис.84.

3. Пропорционально-интегрально-дифференциальный закон регулирования описывается уравнением

(5 - 7)

Динамические характеристики ПИД-регулятора:

- передаточная функция W(p)=-(S₁+S₀/p+S₂p); (5 - 8)

- частотные характеристики:

Рис.85.

- кривая разгона

при t≥ 0 x_p(t)=-(S₁+S₀t+S₂δ (t)).

Рис.86.

ПИД-регулятор сочетает в себе достоинства всех трех простейших законов регулирования: высокое быстродействие благодаря наличию воздействия по производной от ∆ у и отсутствие статической ошибки, которое обеспечивает интегральная составляющая. На рисунке 87 приведены для сравнения процессы регулирова­ния одного объекта различными регуляторами при оптимальных настройках.

Рис.87.

Необходимо отметить, что применение регуляторов с дифференцирующими составляющими, несмотря на их достоинства, не всегда целесообразно, а иногда и недопустимо. Так для объектов с большим чистым запаздыванием по каналу регулирования бесполезно вводить воздействие по производной от регулируемой величины, так как это воздействие будет поступать в регулятор по истечении времени чистого запаздывания после прихода возмущения, за которое в объекте могут накопиться большие отклонения. Более того, в таких случаях ПД- или ПИД-регулятор может " раскачать" объект и система потеряет устойчивость.

Глава 6. РАСЧЕТ ОПТИМАЛЬНЫХ НАСТРОЕК РЕГУЛЯТОРА.

Под оптимальными настройками регулятора мы будем понимать такие настройки, которые для заданного объекта обеспечивают процесс регулирования, удовлетворяющий выбранным критериям ка­чества, например, минимум интегрального квадратичного критерия при заданной степени колебательности, т.e. minI_кв и m=m_зад.

В настоящее время разработано много методов расчета настро­ек регуляторов, один из которых являются более точными, но тру­доемкими, другие-простыми, но более приближенными. Существует ряд монографий, в которых подробно излагаются как расчетные, так и экспериментальные методы выбора настроек. Мы рассмотрим подробно лишь два способа, отражающих методику точного и приближенного расчета настроек:

1.Метод расширенных частотных характеристик.

2.Метод незатухающих колебаний.

§1. Метод расширенных частотных характеристик.

Когда мы рассматривали условия устойчивости замкнутой сис­темы, вытекающие из критерия Найквиста, мы говорили, что при ус­тойчивости разомкнутой системы замкнутая система будет нахо­диться на границе устойчивости (т.е. одна пара корней рас­полагается на мнимой оси, а остальные - слева от нее), еслл АФХ разомкнутой системы проходит через точку (1, i0). Введение сте­пени колебательности равносильно введению новой границы устой­чивости вместо мнимой оси - лучей АОВ, отображением которых на плоскость АФХ является РАФХ. Тогда по аналогии с критерием Найквиста можно сформулировать условия, при которых замкнутая система будет обладать заданной степенью колебательности:

1. Если разомкнутая система имеет степень колебательности не ниже заданной m^*, то замкнутая система будет обладать заданной степенью колебательности, если расширенная амплитуд­но-фазовая характеристика разомкнутой системы проходит через точку (1, i0) (рис.116); если РАФХ разомкнутой системы не охватывает точку (1, i0), то степень колебательности замкнутой системы будет выше m^*.

Рис.88.

2. Если разомкнутая система имеет степень колебательности меньше заданной, то замкнутая система будет обладать степенью колебательности не ниже заданной, если РАФХ разомкнутой системы охватывает точку (1, i0) столько раз, сколько корней характерис­тического уравнения разомкнутой системы лежит правее АОВ (рис.89).

Рис.89.

Так же как и в критерии Найквиста, здесь подразумевается, что W_раз(m, iω) охватывает точку (1, i0) K раз, если вектор W_раз(m, iω)-1 изменений частоты от 0 до ∞ поворачивается на угол Kπ.

Для расчета настроек регулятора обычно используется первое условие, которое предполагает, что разомкнутая система имеет степень колебательности не ниже заданной. Тогда, для того, что­бы замкнутая система обладала заданной степенью колебательности необходимо, чтобы для какой-либо частоты ω _p.

(6-1)

что равносильно двум уравнениям:

(6-2а)

(6-2б)

Так как

то уравнения (6-2) запишутся в виде

(6-3а)

(6-3б)

Полученные уравнения отражают связь между частотными харак­теристиками объекта и регулятора, вытекающую из условия обеспе­чения в замкнутой системе заданной степени колебательности.

Характеристики объекта M_об(m, ω) и φ _об(m, ω) являются исход­ными данными для расчета, а характеристики регулятора M_рег(m, ω) и φ _рег(m, ω) при выбранном законе регулирования определяются пара­метрами настроек. Таким образом задача выбора оптимальных нас­троек регулятора по методу расширенных частотных характеристик сводится к решению уравнений (6-3) при заданных M_об(m, ω) и φ _об(m, ω). Рассмотрим подробнее методику выбора настроек для типовых законов регулирования.

П-регулятор обладает одним параметром настройкм –S₁.

Его расширенные частотные характеристики совпадают с обычными, т.е. W_рег(m, iω)=-S₁, откуда M_рег(m, ω)=S₁, φ _рег(m, ω)=π.

В этом случае уравнения (6-3а, 6-3б) принимают вид:

(6-4а)

(6-4б)

Таким образом получаем систему двух уравнений с двумя неиз­вестными –S₁ и ω _p. Решение начинается с уравнения (6-4б), из которого находится ω _p - частота наихудшей колебательной составляющей, имеющей заданную степень колебательности, называемая рабочей частотой регулирования: затем из уравнения (6-4а) определятся S₁ (рис.90).

Рис.90.

2. ПИ-регулятор – регулятор с двумя параметрами настрой­ки S₁ и S₀ Выведем для него расширенные частотные характе­ристики. Для этого в передаточной функции (5-6) произведем замену p=-mω +iω, в результате получим:

С учетом того, что arctg 1/-m=π /2+arctg m,

окончательно получим

(6-5а)

(6-5б)

Преобразованием уравнений (6-3, 6-5) можно получить формулы для настроек регулятора в виде

(6 – 6а)

(6 – 6б)

или в виде

Ниже рассматривается другой способ вычисления S₁ и S₀, осно­ванный на инверсных частотных характеристиках. Вернёмся к урав­нению (6-1), согласно которому

(6 - 7)

где W_об^*(m, iω) - инверсная РАФХ объекта, Re^*(m, ω), Im^*(m, ω) -

- соответственно действительная и мнимая части инверсной РАФХ объекта. Уравнение (6-7) можно записать в виде двух уравнений для действительных и мнимых частей:

(6-7а)

(6-7б)

Вывод Re_рег(m, ω) и Im_рег(m, ω) для ПИ-регулятора дает:

(6 - 8)

(6 - 9)

Подставив (6-8, 6-9) в уравнения (6-7а, 6-7б) и решив их относительно S₀ и S₁, получим

(6 - 10)

(6 - 11)

Таким образом мы получили для расчета настроек ПИ-регулятора два уравнения с тремя неизвестными – S₁, S₀ и