Высший член произведения многочленов над областью целостности. Однородные многочлены

Лемма 29.1. Пусть K - область целостности. Тогда высший член произведения ненулевых многочленов f и g из K [ х₁, …, х_n ] равен произведению высших членов сомножителей.

Доказательство. Пусть f, g∈ K [ х₁, …, х_n ], u - высший член многочлена f, v – высший член многочлена g. Покажем, что uv - высший член многочлена fg. Так как при умножении f на g каждый одночлен из f умножается на каждый одночлен из g, то многочлен fg содержит одночлен uv. Пусть w - произвольный одночлен из f, t - произвольный одночлен из g wt - произвольный одночлен многочлена fg. Проверим, что uv> wt.

Так как u – высший член f u> w

по лемме 28.1 uv > wt uv - высший член fg.

Так как v - высший член g v> t

Лемма доказана.

Определение 29.1. Многочлен f(х₁, …, х_n) называется однородным многочленом степени k, если все его одночлены имеют степень k.

Утверждение 29.1. Сумма однородных многочленов является однородным многочленом. Произведение однородных многочленов является однородным многочленом.

Замечание 29.1. Если в многочлене f(х₁, …, х_n) сгруппировать все одночлены одинаковой степени, то получим представление многочлена f в виде суммы однородных многочленов, которые называются однородными компонентами многочлена f.