Отделение неприводимых кратных множителей многочлена

Теорема 14.1. ( Основная теорема о многочленах ). Любой многочлен положительной степени над полем F допускает представление в виде произведения неприводимых над F многочленов, причем такое представление единственно с точностью до порядка следования множителей и ассоциированности.

Доказательство. 1) Существование. Пусть f(x) F(x) и deg f(x)=n> 0. Доказательство проведем методом математической индукции по параметру n.

1. Пусть n =1 f(x) неприводим над F => f(x)=f(x) – искомое представление.

2. Допустим, что утверждение верно для любого многочлена положительной степени < n над полем F.

3. Докажем утверждение для многочлена f(x). Если f(x) неприводим над F, то f(x)=f(x) – искомое представление. Пусть f(x) приводим над F f(x)=f ₁ (x) , где f ₁ (x), f ₂ (x) F [ x ] и 0 < deg f_i < n, i= f ₁ (x) = p ₁ (x)· p ₂ (x) · …·p_r(x) и f ₂ (x)=q ₁ (x) ·…·q_s(x) – представление и в виде произведения неприводимых над многочленов f=f ₁ ·f ₂ = p ₁ ·_…·p_r· q ₁ ·_…·q_s – искомое представление.

Из 1–3 по методу математической индукции утверждение верно для любого n N.

2) Единственность. Пусть f(x)=p₁(x)·_…·p_r(x) и f(x)=q₁(x)·_… ·q_s(x) – требуемые представления (1). Так как r, s N, то либо r s, либо r s. Пусть, например, r s. Так как левая часть (1) делится на p ₁, то (q ₁ ·_…·q_s) p ₁ по лемме 13.4 хотя бы один из множителей делится на p ₁. Так какмножители можем менять местами, то будем считать, что q ₁ p ₁ по лемме 13.2 q ₁ ~q ₂ и по замечанию 3 q ₁ =p ₁ ·a ₀ , где a ₀ F^# => p ₁ ·_…·p_r=a ₀ · p ₁ · q ₂ ·_…·q_s, (2). Так как левая часть (2) делится на р ₂, то как и выше, получим р ₂ ~q ₂ и р ₂ =q ₂ ·b ₀, где b ₀ F^#, причем (3) и т.д., через конечное число шагов получим 1 =а ₀ · ₀ ·_…·q_{r+ 1} ·_…·q_s (4). Допустим, что r< s => 1 q_{r+ 1} => deg q_{r+ 1}=0 => противоречие => r=s. Таким образом, представление многочлена f(x) в виде требуемого произведения определяется однозначно с точностью до порядка следования множителей и ассоциированности. Теорема доказана.

Определение 14.1. Пусть F – поле. Многочлен f(x)=а ₀ xⁿ+a ₁ x^{n- 1} +…+a_{n- 1} x+a_n F [ x ]называется нормированным или приведенным, если а ₀ = 1.

Следствие 14.1.1. Любой многочлен f положительной степени над полем F допускает представление в виде: f=a₀·p₁(x) ·_…·p_r(x), где а₀ F^#, p₁, …, p_r - неприводимые над F нормированные многочлены.

Замечание 14.1. Пусть f(x) F[x], F - поле, degf(x)> 0. Тогда по следствию 14.1.1 f(x)=a₀·_…·p₁(x)·_…·p_r(x) (1), где а₀ F^#, , p₁(x), …, p_r(x) - неприводимые над F нормированные многочлены. Возможно, что среди многочленов p₁, …, p_r есть равные. Перемножив равные множители в (1), получим равенство вида f(x)=а₀·p₁^k1·_…·p_s^ks.

Определение 14.2. Пусть f(x) F [ x ], F - поле, deg f(x)> 0. Представление многочлена f(x) в виде f(x)=a₀· p₁^k1·_…· p_s^ks(2), где а₀ F^#, p_1, …, p_s - попарно различные неприводимые над полем F нормированные многочлены, k_i ≥ 1, i= , называется каноническим представлением многочлена f, число k_i называется кратностью множителя p_i, i= . Если k_i= 1, то p_i называется простым неприводимым множителем многочлена f.

Следствие 14.2. Пусть f(x), g(x) F [ x ], F - поле, f(x)=a₀p₁^k1·_…·p_s^ks, g(x)=b₀·p₁^l1·_…·p_s^ls, где a₀, b₀ F^#, p₁, …, p_s – попарно различные неприводимые над F нормированные многочлены, k_i 0, l_i 0, i= . Тогда (f, g)=p₁^{γ 1}·p₂^{γ 2}·_…· p_s^{γ s}, где γ _i=min { k_i, l_i }, i= , [ f, g ] = p₁^{δ 1}·p₂^{δ 2}·_…·p_s^{δ s}, где δ _i=max{k_i, l_i}, i= .

Определение 14.3. Пусть f(х) F [ x ], F - ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей, с - корень f(x). Число k называется кратностью корня c многочлена f(x), если

f (х-с)^к, но f (х-с)^{k+ 1}.

В этом случае пишут (x-c)^k ┬ f(x) - данная запись означает, что (х-с)^k - это наибольшая степень (х-с), которая делит f(х).

Замечание 14.2. Если k = 1, то с называют простым корнем многочлена f(x).

Пусть f(x) F [ x ], F - поле. Поставим перед собой задачу - отделить все кратные неприводимые множители многочлена f(x). Для этого докажем следующую теорему.

Теорема 14.2. Пусть F - поле, CharF= 0, f(x) F [ x ]. Если p(x) – неприводимый множитель многочлена f(x) кратности k > 1, то p(x) является неприводимым множителем многочлена f ^'(x) кратности (k- 1 ).

Доказательство. Так как p – неприводимый множитель f(x) кратности k, то f(x)=(p(x))·q(x), причем q(x) F [ x ] и q(x) p(x). Тогда f ^'(x)=k·p^{k- 1} ·q + p^k·q ¹, где q ┬ р, q^'┬ p => f ^'┬ p^k-1 и f ^'┬ p^k, т.е. p - неприводимый множитель многочлена f ^'(x) кратности (k- 1 ). Теорема доказана.

Cледствие 14.2.1. Пусть F - поле, Char F= 0, f(x) F(x). Тогда p^k ┬ f p^(k-1) ┬ d, где d=(f, f').

Cледствие 14.2.2. Многочлен f(x) F [ x ], где F - поле, не имеет кратных неприводимых множителей кратности k > 1 (f, f ^')= 1.

Cледствие 14.2.3. Кратные неприводимые множители многочлена f F [ x ] - это в точности неприводимые множители многочлена d(x)=(f, f ^').

Вывод: Таким образом, задача отделения кратных неприводимых множителей многочлена f(x) cводится к нахождению d=(f, f ^') и разложению многочлена d на множители. В свою очередь, отделить кратные неприводимые множители многочлена d(x) можно с помощью нахождения d₁=(d, d^') и т.д.