Студопедия

Главная страница Случайная страница

Разделы сайта

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Кольцо многочленов от одной неизвестной






Лемма 2.1. Пусть K – ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей, L= {(a 0, a 1, a 2, …, ak, …) | ai K, i= и лишь конечное число ai 0 }. Тогда множество L является ассоциативно-коммутативным кольцом с единицей e= (1, 0, 0, …, 0, …) относительно операций, заданных по правилу:

1) (a 0, a 1, a 2, …, ak, …) + (b 0, b 1, b 2, …, bk, …)= (a 0 +b 0, a 1 +b 1, a 2 +b 2, …)(1);

2) (a 0, a 1, a 2, …, ak, …)·(b 0, b 1, b 2, …, bk, …)=(d 0, d 1, d 2, …), где d 0 =a 0 +b 0, d 1 =a 0 b 1 +a 1 b 0, d 2 = a 0 b 2 +a 1 b 1 +a 2 b 0, и т.д., dk= (2).

Доказательство. Так как, например, (1, 0, 0, …, 0, …) L, то L ∅. Операции сложения и умножения являются алгебраическими на L в силу их задания.

1) Поскольку сложение элементов из L сводится к сложению элементов из K, а K – кольцо, то сложение ассоциативно и коммутативно на L.

2) , причём : и .

3) , причём .

Из 1)-4) L – аддитивная абелева группа.

Покажем, что в L выполняются дистрибутивные законы. Пусть a=(a 0, a 1, a 2, …, ak, …), b=(b 0, b 1, …, bk, …), c=(c 0, c 1, …, ck, …) . Покажем, что . Действительно,

Аналогично доказывается левый дистрибутивный закон. Следовательно, L – кольцо. Покажем, что L – ассоциативное кольцо. Пусть a, b, c L. Покажем, что (ab)c=a(bc). Действительно,

;

.

Покажем, что L – коммутативное кольцо. Из () операция умножения коммутативна на L.

Покажем, что L – кольцо с единицей. Действительно, , причём . Таким образом, мы доказали, что L – ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей. Лемма доказана.

Теорема 2.1. Пусть K – ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей. Тогда для K существуют простые трансцендентные расширения, причём любые 2 из них изоморфны.

Доказательство. Пусть и лишь конечное число – ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей. Покажем, что L удовлетворяет определениям 1.1 и 1.2.

1) Покажем, что K – подкольцо в L. Последовательности вида (k, 0, 0, …) ведут себя при сложении и умножении так же, как и соответствующие им элементы из K, а именно:

(k 1, 0, 0, …)+ (k 2, 0, 0, …)= (k 1+ k 2, 0, 0, …);

(k 1, 0, 0, …) (k 2, 0, 0, …)= (k 1 k 2, 0, 0, …).

Поэтому последовательность вида (k, 0, 0, …) можно отождествить с элементом k K, т.е.

.

2) Пусть . Методом математической индукции можно доказать, что . Тогда

(0, 0, …, 0, ak, 0, …)=(ak, 0, 0, …) ·(, N

условие 2) из определения 1.1 выполняется.

3) Пусть a 0=0, a 1=0, …, an =0.

Из 1)-3) L – простое трансцендентное расширение кольца K. Кроме того, по следствию 1.2.1 любые два простые трансцендентные расширения кольца K изоморфны. Теорема доказана.

Замечание 2.1. Кольцо L, построенное в лемме 2.1, и являющееся простым трансцендентным расширением кольца K согласно теореме 2.1, называется кольцом многочленов (полиномов) от одной переменной (неизвестной) x над кольцом K и обозначается K [ x ]. При этом удовлетворяет определению 1.1 и определению 1.2.

Определение 2.1. Пусть K – ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей. 1. Кольцом многочленов над K от переменной x называется ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей, удовлетворяющее следующим условиям:

1) K K [ x ];

2) ;

3) .

2. Элементы кольца K [ x ] называются многочленами над кольцом K от переменной x и обозначаются , и др.

3. Пусть, (an по теореме 2.1). Элементы называются коэффициентами многочлена , коэффициент an называется старшим коэффициентом, коэффициент a 0 называется свободным или постоянным членом многочлена .






© 2023 :: MyLektsii.ru :: Мои Лекции
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.
Копирование текстов разрешено только с указанием индексируемой ссылки на источник.