Получение передаточных функций элементов системы и построение их динамических характеристик

Схема типового звена, представленного в задании, изображена на рисунке 16.

Рисунок 16 - Схема типового звена

По заданию . Рассчитаем номиналы резисторов и конденсаторов, входящих в схему. Воспользуемся формулами:

Пусть R2 = 9, 75 кОм (резисторы модели C2-10 ряд Е192). Тогда выразим R1 из выражения (18):

Из выражения (17) найдем :

Из формулы (15) выразим R3:

Возьмем резисторы R1; R2; R3 из ряда E192 типа C2-10, а конденсатор C1; C2 выберем из ряда E96 модели К53-52.

Электрические параметры рассчитанных резисторов и конденсаторов представлены в таблицах 5 и 6.

Таблица 5 - Электрические параметры рассчитанных резисторов

Таблица 6 – Электрические параметры конденсаторов типового звена

Реализуемое типовым звеном дифференциальное уравнение имеет вид:

где и – выходное и входное напряжения типового звена соответственно.

Осуществим переход к операторной форме записи:

Подставим номиналы элементов, входящих в схему и получим передаточную функцию типового звена:

Осуществим переход от оператора Лапласа к :

Для нахождения необходимых частных динамических характеристик типового звена выделим мнимую и действительную части из

Отсюда действительная и мнимая части типового звена соответственно:

По формуле (14) построим АЧХ типового звена и изобразим ее на рисунке 17:

Рисунок 17 - АЧХ типового звена

Выразим ФЧХ (φ (ω)) типового звена по формуле:

На рисунке 18 представлена ФЧХ типового звена.

Рисунок 18 - ФЧХ типового звена

Найдем ЛАЧХ (L(ω)) типового звена:

На рисунке 19 и 20 изображены ЛАЧХ и ЛФЧХ типового звена.

Рисунок 19 - ЛАЧХ типового звена

Рисунок 20 - ЛФЧХ типового звена

Построим АФХ типового звена:

Рисунок 21 - АФХ типового звена

Зная АЧХ и ФЧХ типового звена, построим АФХ в полярных координатах (рисунок 22):

Рисунок 22 - АФХ типового звена в полярных координатах

4 Получение общей передаточной функции системы

4.1 Получение передаточной функции разомкнутой системы

Произведем преобразование схемы 1 и 2 звена на рисунке 1 в соответствии с рисунком 23 и получим схему на рисунке 24:

Рисунок 23 - Последовательное преобразование 1 и 2 звена.

Рисунок 24 - Преобразованная схема

Произведем следующее преобразование в соответствии с рисунком 25 и получим передаточную функцию (23) в соответствии с рисунком 26:

Рисунок 25 - Схема преобразования последовательных звеньев

Рисунок 26 - Преобразованная схема

Передаточную функцию разомкнутой системы можно получить из выражений (5), (13) и (21) следующим образом:

4.2 Получение передаточной функции по управлению

Произведем преобразование структурной схемы системы и представим полученную схему на рисунке 25:

Рисунок 25 - Структурная схема системы после второго преобразования

Передаточная функция замкнутой системы по управлению имеет вид:

Подставив выражение (24) в (25) получим выражение:

4.3 Получение передаточной функции замкнутой системы по возмущению

Передаточная функция замкнутой системы по возмущению имеет вид:

Подставив выражения (21), (24) в (25) получим следующее выражение:

4.4 Получение передаточной функции замкнутой системы по ошибке

Передаточная функция замкнутой системы по ошибке имеет вид:

Подставив выражение (24) в (27) получим выражение (28):

5 Получение выходного сигнала системы

Переход от оригинала входного сигнала к его изображению можно осуществить, применив прямое преобразование Лапласа:

Используя систему компьютерной алгебры Mathcad применительно к выражению (29), получим выражение для x(p):

Изображение выходного сигнала имеет вид:

Используя систему компьютерной алгебры Mathcad применительно к выражению (30), получим выражение для y(p):

Графики входного и выходного сигналов представлены на рисунках 25 и 26:

Рисунок 25 – График входного сигнала

Рисунок 26 – График выходного сигнала

6 Построение динамических характеристик исследуемой системы

Заменой оператора Лапласа p на jω для формулы (26) проведем переход к аналитическому выражению АФХ всей системы:

Умножим на сопряженный знаменатель и получим следующее выражение:

Отсюда действительная и мнимая части АФХ соответственно:

Построим графики АФХ, АЧХ, ФЧХ, ЛАЧХ и ЛФЧХ для системы:

ФЧХ для системы:

Рисунок 27 – АЧХ системы

Построим ФЧХ системы:

Рисунок 28 – ФЧХ системы

Построим АФХ системы:

Рисунок 29 – АФХ системы

Зная АЧХ и ФЧХ системы, построим АФХ в полярных координатах

Рисунок 30 – АФХ системы в полярных координатах

Построим график ЛАЧХ системы:

Рисунок 31 – ЛАЧХ системы

Построим график ЛФЧХ системы.

Рисунок 32 – ЛФЧХ системы

Вывод: в ходе проведения работы были рассчитаны составные элементы системы, получены их передаточные функции и системы в целом. Построены динамические характеристики последовательно соединенных элементов системы, с помощью которых был проведен анализ всей системы, а также построены её динамические характеристики.

Список использованных источников

1 Бондарева, Л.А. Методические указания по выполнению расчетно-графических работ по дисциплине «Проектирование автоматизированных контролирующих систем» / Л.А.Бондарева. – Орел: ОрелГТУ, 2007. – 55 с.

2 Справочник по электрическим конденсаторам / М.Н. Дьяконов, В.И. Карабанов, В.И. Присняков и др.; Под общ.ред. И.И. Четверткова и В.Ф. Смирнова. – М.: Радио и связь, 1983. – 576 с.: ил.

3 Джонсон Д. Справочник по активным фильтрам / Д. Джонсон, Дж. Джонсон, Г. Мур.–М.: Энергоатомиздат, 1983.–128с.: ил.

4 Гутников, В. С. Интегральная электроника в измерительных устройствах/ В.С. Гутников. — Л.: Энергоатомиздат. Ленингр. отд-ние, 1988. – 304 с: ил.