Студопедия

Главная страница Случайная страница

Разделы сайта

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Пример решения Задачи 4






Дано: m1 – масса груза 1, т2 = 2т1 т3 = т1, т4 = 0, 5т1, т5 = 20т1, , R2 = R3 = 12 см, r2 = 0, 5R2, r3 = 0, 75R3, R5 = 20, AB = l = 4R3 , i3x = 8 см; i2x = 8 см, a = 30°, f = 0, 1, d = 0, 2 см, s = 0, 06p м. Сопротивление качению тела 2 не учитывать. Шатун 4 считать тонким однородным стержнем; каток 5 – однородный сплошной цилиндр. массами звена ВС5 и ползуна В пренебречь. На рис. 1, а показана механическая система в начальном положении.

Найти u1– скорость груза 1 в конечном положении.

Решение. Применим теорему об изменении кинетической энергии системы:

(1)

где T и T0 – кинетическая энергия системы в начальном и конечном положениях;

–сумма работ внешних сил, приложенных к системе, на перемещении системы из начального положения в конечное;

– сумма работ внутренних сил системы на том же перемещении.

Для рассматриваемых систем, состоящих из абсолютно твердых тел, соединенных нерастяжимыми нитями и стержнями,

Так как в начальном положении система находится в покое, то T0 = 0.

Следовательно, уравнение (1) принимает вид

. (2)

Для определения кинетической энергии T и суммы работ внешних сил надо изобразить систему в конечном положении (рис б, в).

 

 


Напишем кинематические соотношения между скоростями и перемещениями точек системы, т.е. уравнения связей. при этом скорости и перемещения выразим соответственно через скорости и перемещения груза 1.

Скорость центра масс С катка 2 равна скорости груза 1:

(3)

Угловая скорость катка 2, мгновенный центр скоростей которого находится в точке P2 ,

.

Учитывая (3), получим

. (4)

Скорость точки D катка 2

,

т.е.

Скорость точки E, блока 3 равна скорости точки Dкатка 2:

(5)

Но

.

Следовательно, по (5),

Так как

То

откуда

(6)

Заменяя в формуле (6)

, ,

получим

или

После интегрирования (при нулевых начальных условиях)

(7)

Когда груз 1 пройдет путь м, блок 3 повернется на угол

При этом повороте блока 3 на 1800 его точка А перейдет в конечное положение А и шатун 4 из начального положения А0В0 перейдет в конечное положение АВ.

Каток 5 переместится влево при повороте блока 3 на угол

И вправо при повороте блока еще на ; значит, конечное положение катка 5 совпадает с его начальным положением.

Таким образом, конечное положение всей системы вполне определено.

Вычислим кинетическую энергию системы в конечном положении как сумму кинетических энергий тел 1, 2, 3, 4, 5:

Т = T1 + Т2 + Т3 + Т4 + Т5 (8)

Кинетическая энергия груза 1, движущегося поступательно,

Т1= m1 /2. (9)

 

Кинетическая энергия катка 2, совершающего плоское движение,

, (10)

где – момент инерции катка 2 относительно его продольной центральной оси :

.

Подставляя (3), (4), (11) в формулу (10), получаем

 

.

 

Кинетическая энергия тела 3, вращающего вокруг оси Оx,

где -момент инерции блока 3 относительно оси Ох:

Подставляя (6), (14) в формулу (13), получаем

 

.

Кинетическая энергия шатуна 4, совершающего плоское движение,

 

где uс4 – скорость центра масс С4 шатуна 4, w4-угловая скорость шатуна 4; -момент инерции шатуна относительно центральной оси С4x.

Для определения uС4 и w4 найдем положение мгновенного центра скоростей шатуна 4.Так как скорости точек А и В в этот момент параллельны, то мгновенный центр скоростей шатуна 4 находится в бесконечности; следовательно, угловая скорость шатуна в данный момент w4=0, а скорости всех его точек параллельны и равны между собой. Таким образом, кинетическая энергия шатуна 4

 

,

 

где

uС4=uА.

Вращательная скорость точки А тела 3

uА=w3R3,

или с учетом (14)

uА=3/2R3u1/r3.

Поскольку r3=3/4R3, получим

uА=2u1.

По (17)

uС4=uА, uС4=2u1.

После подстановки (19) в (16) выражение кинетической энергии шатуна 4 принимает вид

.

Кинетическая энергия катка 5, совершающего плоское движение,

где uС5- скорость центра масс С5 катка 5; J5x- момент инерции катка 5 (однородного сплошного цилиндра) относительно его центральной продольной оси С5x, ; w5-угловая скорость катка 5.

Так как каток катится без скольжения, то мгновенный центр скоростей находится в точке Р5.Поэтому

w5=uС5/R5

Следовательно,

.

Так как звено ВС5 совершает поступательное движение, то uС5=uВ, но uВ=uС4=2u1.Значит, uС5=2u1.

Поэтому выражение кинетической энергии катка 5 принимает вид

.

Кинетическая энергия всей механической системы определяется по формуле (8) с учетом (9), (12), (15), (20), (21):

.

Подставляя сюда заданные значения масс, получаем

или

.

Найдем сумму работ всех внешних сил, приложенных к системе, на заданном ее перемещение. Покажем внешние силы, приложенные к системе (рис.155, в).

Работа силы тяжести

Работа силы трения скольжения

Так как

то

Работа силы тяжести

Работа сил сцепления катков 2 и 5 равна нулю, так как эти силы приложены в мгновенных центрах скоростей этих катков.

Работа силы тяжести

,

где hC4-вертикальное перемещение центра тяжести С4 шатуна 4 из начального положения в его конечное положение (рис.155, г):

hC4=R3,

AG4=m4gR3.

Работа пары сил сопротивления качению катка 5

,

где МС=dN5=dG5-момент пары сил сопротивления качению катка 5; j5-угол поворота катка 5.

Так как каток 5 катится без скольжения, то угол поворота

j5=SC5/R5

где SC5-перемещение центра тяжести С5 катка 5.

В данном примере работу пары сил сопротивления вычислим как сумму работ этой пары при качении катка 5 влево при повороте тела 3 на угол p/2 и качении вправо, когда тело 3 повернется еще на угол p/2.

Перемещение центра тяжести С5 катка 5 равно перемещению ползуна В влево и право:

sC5=2(В0В/).

Определим перемещение В0В/ при повороте тела 3 на угол p/2. За начало отсчета координаты точки В выберем неподвижную точку К плоскости. При повороте тела 3 шатун из положения АоВо перейдет в положение КВ/. Тогда

,

где

,

Следовательно,

 

6. Задача 5. «Принцип Даламбера. Решение динамической задачи методом кинетостатики»

Вертикальный вал АК (схема 0-9), вращающийся с постоянной угловой скоростью , закреплён подпятником в точке А и цилиндрическим подшипником вточке, указанной в таблице в столбце 2 (AB=BD=DE=EK=a).К валу жёстко прикреплены невесомый стержень 1 длиной l1=0, 4 м с точечной массой m1= 6 кг на конце и однородный стержень 2 длиной l2=0, 6 м, имёющий массу m2= 4 кг; оба стержня лежат в одной плоскости. Точки крепления стержня к валу указаны в таблице в столбцах 3 и 4, а углы α и β в столбцах 5 и 6.

Пренебрегая весом вала, определить реакции подпятника и подшипника.

При окончательных подсчётах принять, а =0, 4м.

 

 

Подшипник в точке Крепление стержня 1 в точке Крепление стержня 2 в точке α ° β °
  B D K    
  D B E    
  E D B    
  K D E    
  B E D    
  D K B    
  E B K    
  K E B    
  D E K    
  E K D    

 

 






© 2023 :: MyLektsii.ru :: Мои Лекции
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.
Копирование текстов разрешено только с указанием индексируемой ссылки на источник.