Теплопроводность однородного цилиндрического стержня

Дано: длинный цилиндрический стержень радиусом r₀ с коэффициентом теплопроводности l=const, с объемным тепловыделением q_v находится в среде с температурой t_ж, задан коэффициент теплоотдачи = const (рис. 3.3).

Условие " длинного" стержня предполагает пренебрежимо малый отток тепла в среду с торцов стержня. Вся теплота отдается в среду только цилиндрической поверхностью стержня. При этом температура цилиндрической поверхности будет одинаковой (t_c) и температура в стержне будет изменяться только по радиусу.

Определить: уравнение температурного поля t=f(x); тепловой поток (Q, Вт ), рассеиваемый цилиндрической поверхностью стержня.

Температурное поле цилиндрического стержня описывается дифференциальным уравнением теплопроводности в цилиндрических координатах (1.14). При условиях стационарного режима и постоянства температур t_с и t_ж уравнение (1.14) запишется в виде

(3.23)

Граничные условия третьего рода для цилиндрической поверхности стержня

(3.24)

Условие максимума температуры в центре стержня

(3.25)

Решением уравнения (3.23) является общий интеграл

(3.26)

После нахождения постоянных интегрирования с₁ и с₂ с помощью условий (3.24) и (3.25) получим уравнение температурного поля цилиндрического стержня t=f(r) в виде

(3.27)

где r – текущий радиус.

Уравнение (3.27) – симметричная парабола (рис. 3.3).

Подстановка в (3.27) r = 0, r = r₀ дает расчетные формулы для t_max, t_c:

	(3.28)
	(3.29)

При подстановке (3.29) в (3.27) получим уравнение температурного поля цилиндрического стержня при граничных условиях первого рода

(3.30)

Тепловой поток, рассеиваемый цилиндрической поверхностью, можно определить двумя способами:

где F= 2 p r₀ , м³ – площадь цилиндрической поверхности стержня;
V=p r₀ ² , м³ – объем стержня; , м – длина стержня.