Бернулли

Пусть производится п независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появиться либо не появиться. Условимся считать, что вероятность события А в каждом испытании одна и та же, а именно равна р. Следовательно, вероятность не наступления события А в каждом испытании также постоянна и равна q= 1 —p.

Вероятность того, что при п испытаниях событие А осуществится ровно k раз и, следовательно, не осуществится (п – k)раз вычисляется по формуле

.

Полученную формулу называют формулой Бернулли.

Вероятность того, что в п испытаниях событие наступит: а) менее k раз; б) более k раз; в) не менее k раз; г) не более k раз, - находят соответственно по формулам:

P_n (0)+ P_n (1)+…+ P_n (k -1);

P_n (k +1)+ P_n (k +2)+…+ P_n (n);

P_n (0)+ P_n (1)+…+ P_n (k).

Пример. 1. Вероятность того, что расход электроэнергии в продолжение одних суток не превысит установленной нормы, равна р =0, 75. Найти вероятность того, что в ближайшие 6 суток расход электроэнергии в течение 4 суток не превысит нормы.

Решение. Вероятность нормального расхода электроэнергии в продолжение каждых из 6 суток постоянна и равна

р = 0, 75. Следовательно, вероятность перерасхода электроэнергии в каждые сутки такжепостоянна и равна

q= 1 - р== 1 - 0, 75 = 0, 25.

Искомая вероятность по формуле Бернулли равна

Пример 2. Что вероятнее: выиграть у равносильного противника (ничейный исход партии исключен) а) три партии из четырех или пять из восьми; б) не менее трех партий их четырех или не менее пяти партий из восьми?

Решение. Так как противники равносильные, то вероятности выигрыша и проигрыша каждой партии одинаковы и равны .

а) Вероятность выиграть три партии из четырех равна

.

А вероятность выиграть пять партий из восьми равна

.

Так как > , то вероятнее выиграть три партии из четырех.

б) Вероятность выиграть не менее трех партий из четырех равна

.

А вероятность выиграть не менее пяти партий из восьми равна

.

Так как > , то вероятнее выиграть не менее пяти партий из восьми.