Занятие 6. Вероятность гипотез. Формулы Бейеса

Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных событий B _l, В ₂,.... В_п, образующих полную группу. Поскольку заранее неизвестно, какое из этих событий наступит, их называют гипотезами. Вероятность появления события А определяется по формуле полной вероятности.

Если вероятности гипотез до опыта были Р (В ₁), Р (В ₂), …, Р (В_п), а в результате опыта появилось событие А, то условные вероятности , , …, с учетом появления события А вычисляются по формулам Бейеса

= ,

где Р (А) – полная вероятность.

Формулы Бейеса позволяют переоценить вероятности гипотез после того, как становится известным результат испытания, в итоге которого появилось событие А.

Пример. 1. Детали, изготовляемые цехом завода, попадают для проверки их на стандартность к одному из двух контролеров. Вероятность того, что деталь попадает к первому контролеру, равна 0, 6, а ко второму — 0, 4. Вероятность того, что годная деталь будет приз­нана стандартной первым контролером, равна 0, 94, а вторым—0, 98. Годная деталь при проверке была признана стандартной. Найти вероятность того, что эту деталь проверил первый контролер.

Решение. Обозначим через А событие, состоящее в том, что годная деталь признана стандартной. Можно сделать два предположения:

1) деталь проверил первый контролер (гипотеза В ₁);

2) деталь проверил второй контролер (гипотеза В ₂).

Искомую вероятность того, что деталь проверил первый контролер, найдем по формуле Бейеса:

= .

По условию задачи имеем: Р (В ₁) = 0, 6 (вероятность того, что деталь попадает к первому контролеру); Р (В ₃)= 0, 4(вероятность того, что деталь попадет ко второму контролеру); =0, 94 (вероятность того, что годная деталь будет признана первым контролером стандартной); =0, 98 (вероятность того, что годная деталь будет признана вторым контролером стандартной).

Искомая вероятность

= ()/( + ) 0, 59.

Пример 2. Имеются три урны: в первой - 3 белых шара и 1 черный, во второй – 2 белых и 3 черных, в третьей – 3 белых шара. Некто подходит наугад к одной из урн и вынимает из нее один шар. Этот шар оказался белым. Найти вероятность того, что шар вынут из первой урны.

Решение. Выделяем гипотезы: Н ₁={выбрана первая урна}; H ₂={выбрана вторая урна}; H ₃={выбрана третья урна}. Ясно, что

.

В результате опыта появилось событие А ={вынут белый шарик}. Нетрудно найти: Р (А / Н ₁)= , Р (А / Н ₂)= , Р (А / Н ₃)=1. Применяя формулу Бейеса, находим вероятность гипотезы Н ₁ после опыта:

.