Вычисление момента инерции при повороте осей. Главные оси инерции и главные моменты инерции.

Пусть известны моменты инерции бесконечно малой фигуры dF относительно центральных осей Z, y;

J_z=∫ _Fy²dF-момент инерции относительно оси z

J_y=∫ _Fz²dF-момент инерции относительно оси y

J_yz=∫ _FzydF

Повернем оси у, z на угол α против часовой стрел- ки, считая угол поворота осей в этом направлении положительным. Определим моменты инерции сечения относительно повернутых осей z₁, y₁;

J_y1z1=∫ Fz₁y₁dF

J_y1=∫ _Fz²₁dF

J_z1=∫ _Fy²₁dF

Координаты произвольной элементарной площадки в новых осях z₁, y₁ выражаются через координаты z, y прежней системы осей следующим образом;

Z₁=OC+AD=zcosα +ysinα

y₁=CB=BD-EA=ycosα -zsinα

Подставим эти значения в формулы моментов инерции (выше) и проинтегрируем почленно;

J_z1=∫ _F(ycosα -zsinα)²dF= =c =cos²α ∫ _Fy²dF+sin²α ∫ _FZ²dF- -sin2α ∫ _FyzdF

J_y1=∫ _F(zcosα +ysinα)²dF= =sin²α ∫ _Fy²dF+cos²α ∫ _FZ²dF+sin2α ∫ _FzydF

J_y1z1=∫ _F(zcosα +ysinα)(ycosα -zsinα)dF=(cos²α -sin²α) ∫ _FzydF+(1/2)sin2α (∫ _Fz²dF-∫ _Fz²dF)

Окончательно находим;

J_z1=J_zcos²α +J_ysin²α -J_zysin2α

J_y1=J_ycos²α +J_zsin²α -J_zysin2α

J_z1y1=J_zycos2α -(1/2)(J_y-J_z)· ·sin2α

Опр. гл. осей и гл. моментов инерции.

Наибольшее значение имеют главные центральные оси, центробежный момент инерции относительно которых равен нулю.

J_UV=0

Чтобы определить положение главных центральных осей повернем произвольную начальную систему центральных осей z, y на некоторый угол α ₀, при котором центробежный момент инерции становится равным нулю;

J_z1y1=J_VU=0

Тогда из формулы

J_z1y1=J_zycos2α -(1/2)(J_y-J_z)·sin2α

получим

J_z1y1=J_zycos2α ₀-(J_y -J_z)2(sin2α ₀)

Откуда

tg2α ₀=2J_zy/J_y-J_z

Откуда найдем два угла (острый и тупой) отличающиеся на 90 градусов. Откладываем от оси z и получаем положение оси U (ось V перпендикулярна U)Значения главных моментов инерции из формул;

J_z1=J_zcos²α +J_ysin²α - J_zysin2α

J_y1=J_ycos²α +J_zsin²α -J_zysin2α, прехода к повернутым осям, приняв α =α ₀

J_z1=J_zcos²α ₀+J_ysin²α ₀ -J_zysin2α ₀

J_y1=J_ycos²α ₀+J_zsin²α ₀-J_zysin2α ₀

Если исключить α ₀ из трех уравнений (J_z1, J_y1, J_z1y1), то получим формулу для вычисления моментов инерции относительно главных центральных осей.

J_U=1/2[(J_z+J_y)±√ (J_z-J_y)²+4J²_zy]

J_V=1/2[(J_z+J_y)±√ (J_z -J_y)²+4J²_zy]

Свойства главных центральных осей;

1)относительно этих осей центробежный момент инерции равен 0

2)относительно V, U моменты инерции имеют экстремальные величины

3)если плоская фигура имеет ось симметрии, то эта ось одна из главных центральны, вторая проходит через центр тяжести фигуры и перпендикулярна первой.