Студопедия

Главная страница Случайная страница

Разделы сайта

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Основные понятия и уравнения структурной рентгенографии

Узел – это место, в котором располагается центр тяжести материальной частицы. В кристаллической решетке узел задается тремя координатами [[UVW]], [[1 0 ½ ]], которые выражены в осевых единицах (периодах кристаллической решётки): а1, а2, а3. Переход к декартовым координатам Х = U× а1, У = V× а2, Z = W× а3. Кристаллографические направления – прямые, соединяющие n-число узлов (атомов), минимум два.

Индексы направлений:

1. Параллельные друг другу направления в кристаллографии не различаются. Совокупность параллельных направлений в кристаллографии – семейство параллельных прямых (рис.1). [UVW] – индексы направления, которые приписываются всем параллельным прямым, образующим семейство.

 

[UVW]

 

Рис. 1.

 

 

2. Поскольку в кристаллографии направления обязательно проходят через узел, то, в отличие от геометрии, между двумя параллельными линиями можно провести фиксированное количество параллельных им линий.

Таким образом, кристаллографическое направление – это прямая, проходящая, по крайней мере, через два узла решетки. На этой прямой должно лежать бесчисленное множество узлов, один из которых применяется за начало координат [[000]] (рис.2).

 

 

Z

 
 

 


[[000]] У

       
   
 


X

 

 

Рис. 2.

 

При установлении кристаллографических индексов направления его необходимо перенести параллельно самому себе в начало координат, найти первый узел от начала координат, лежащий на этом направлении, индексы которого соответствуют индексам этого направления.

При изменении символов на обратные направления не меняется, а движение вдоль него меняется на противоположное.

< UVW> - cовокупность всех эквивалентных семейств прямых с одинаковой тройкой индексов, различающихся последовательностью индексов или знаками у них.

< 100> - оси координат (6 штук), < 110> - малые диагонали (12 штук).

< 111> - телесная диагональ (8 штук).

Индексы плоскости: Кристаллографические плоскости проходят минимально через три узла, поэтому между двумя параллельными плоскостями можно провести конечное число плоскостей.

Семейство параллельных плоскостей имеет одинаковые индексы (hkl), которые обозначаются в виде целых простых чисел, не содержащих общего множителя.

Для определения индексов плоскости необходимо:

1) определить в осевых единицах отрезки, отсекаемые данной плоскостью на координатных осях (2, 3, 1 на рис. 3)

2) взять величины, обратные этим отрезкам – 1/2 1/3 1;

3) привести отношение этих обратных значений к отношению трех взаимно простых чисел – 1/2: 1/3: 1 ® 3: 2: 6, которые заключаются в круглые скобки (3 2 6).

 

 
 


Z

(326)

 

 
 

 


У

           
   
 
   
 
 

 


Х

 

Рис. 3.

 

 

Если плоскость пересекает кристаллическую ось в отрицательном направлении, то над соответствующим индексом ставят знак “минус”. При перемене знаков на обратные, положение плоскости не изменяется, изменяется направление, вдоль которого смотрим на плоскость.

Для плоскостей, параллельных какой-либо координатной оси, соответствующие индексы равны нулю (отсекаемый отрезок = ¥).

Совокупность всех эквивалентных семейств параллельных плоскостей – {hkl}.

Плоскости, отсекающие на каждой оси по равному числу осевых единиц, обозначаются {111}. В кубической решетке их называют плоскостями октаэдра, т.к. система подобных плоскостей, равноотстоящих от начала координат, образует октаэдр.

Плоскости типа 110 называются в кубической сингонии плоскостями ромбического додекаэдра, т.к. система подобных плоскостей образует 12-тигранник, каждая грань которого ромб.

Плоскости (100) – называются в кубической решетке плоскостями куба, т.к. образуют в пространстве куб.

Для кубической сингонии индексы плоскости (hkl), нормалей к ней [UVW], численно равны между собой: h = U, k = V, l = W.

Если направление (прямая) принадлежит плоскости, то:

U× h + V× k + W× l = 0. (1)

Индексы направления [UVW], по которым пересекаются плоскости (h1 kl l1) и (h2 k2l2), отыскиваются, раскрывая определитель:

U× h1 + V× k1 + W× l1 = 0; U× h2 + V× k2 + W× l2 = 0. (2)

U V W U = k1× l2 – k2× l1

h1 k1 l1 V = - (h1× l2 – h2× l1) (3)

h2 k2 l2 W = h1× l2 – h2× l1

Индексы плоскости (hkl), в которых лежат направления [U1 V1 W1] и [U2 V2 W2] (рис.4), находятся с помощью аналогичного определителя:

 

h k l h = (V1× W2 – V2× W1)

U1V1W1 k = (U1× W2 – U2× W1) (4)

U2V2W2 l = (U1× V2 – U2× V1)

 

Периодом идентичности I данной прямой называется расстояние между ближайшими узлами, лежащими на ней.

Он равен абсолютной величине радиуса-вектора , соединяющего начальный узел с первым узлом ряда:

. (5)

 

[U3V3W3]

 

 
 


[U2V2W2] P(hkl)

 
 


[U1V1W1]

 

 

Рис. 4.

 

В общем случае

 

(6)

 

Для кубической решетки:

I = . (7)

Угол между двумя прямыми, которые изображаются векторами и :

, (8)

Откуда для кристаллов кубической сингонии:

. (9)

В справочниках приводятся соответствующие формулы для кристаллов других сингоний.

Кристаллографической зоной называется совокупность плоскостей, параллельных одному направлению [UVW], которое называется осью зоны. При параллельном переносе все плоскости, входящие в зону, пересекаются вдоль её оси (рис.5). Поэтому любая зона однозначно определяется осью зоны.

Индексы зоны находятся из определителя:

U V W

h1 k1 l1 (10)

h2 k2 l2

 

 

 
 


[UVW]

h1 k1 l1

       
 
   
 

 


h2 k2 l2

 
 

 

 


Рис. 5.

 

Каждое семейство плоскостей (hkl) характеризуется своим межплоскостным расстоянием dhkl, т. е. наименьшим расстоянием между двумя соседними параллельными плоскостями. Так как системы координатных осей выбирают различные для разных сингоний, то между индексами плоскостей (hkl), d и периодами решетки а, в, с существуют зависимости, различные для каждой сингонии, которые называются квадратичными формулами:

Совокупность кристаллографических идентичных плоскостей {hkl} имеет одинаковые межплоскостные расстояния.

В кубической решетке совокупность плоскостей (100), ( 00), (010), (0 0), (001), (00 ).

Определение межплоскостного расстояния.

Межплоскостное расстояние d равно длине перпендикуляра, опущенного из начала координат на ближайшую к нему плоскость (рис. 6).

 

 
 


c

С

g d К

О b В

a b

А

a

 

Рис. 6.

 

 

Если кристалл принадлежит к ромбической сингонии а ^ в ^ с и углы перпендикуляра ОК = d, то с осями координат a, b, g, то из рис. 6 вытекает:

, , где а – период кристаллической решетки;

.

Так как соs2a + cos2b + cos2g = 1, то:

; (11)

Преобразование урав. 11 дает квадратичную формулу для ромбической сингонии (a = b = g = 90o, a ¹ b¹ c).

 

(12)

Для кубической сингонии (а = в=с), a = b = g = 90o:

. (13)

Для тетрагональной сингонии (a = b¹ c):

. (14)

Для гексагональной (a = b¹ c), a = b = 90o. g =120о:

. (15)

Фактором повторяемости называется число плоскостей, входящих в данную совокупность {hkl}, которые различаются последовательностью индексов или знаками у них, но имеют одинаковые межплоскостные расстояния. Фактор повторяемости Р для выбранной совокупности плоскостей {hkl} легко найти из квадратичной формулы для кристаллов определенной сингонии. Значение Р для кубической сингонии приведено в табл. 1.

Таблица 1

Индексы {100} {110} {111} {hk0} {hkk} {hkl}
P            

 

Как видно из квадратичных формул (12-14), чем ниже симметрия кристаллической решетки при переходе от кубической сингонии к тетрагональной и ромбической, тем меньше фактор повторяемости для одной и той же совокупности плоскостей {hkl}.

Объем элементарной ячейки (V), построенной на векторах по формулам векторного исчисления, выражается тройным смешанным произведением:

. (15)

Для кристаллов кубической решетки: V= а 3.

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
СОПРОТИВЛЕНИЕ В ГЕШТАЛЬТ-ТЕРАПИИ | Геродот. © Гуманитарное агентство «Академический проект», 1997




© 2023 :: MyLektsii.ru :: Мои Лекции
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.
Копирование текстов разрешено только с указанием индексируемой ссылки на источник.