Правило Вальда

Для всех правил выборки решения, где условные вероятности ошибок a и b не превосходят заданных значений, последовательное правило, состоящее в сравнении отношения правдоподобия L(x₁, …, x_n) с двумя порогами С₀ и С₁, приводит к наименьшим затратам (значениям) m₁(n/H₀) и m₁(n/H₁).

Оптимальное разбиение пространства выборки определяется неравенствами:

1) для допустимой области G₀:

C₀ < L(x₁, …, x_k) < C₁; k=1, …, n-1; L(x₁, …, x_n) C₀;

2) для критической области G₁:

C₀ < L(x₁, …, x_k) < C₁; k=1, …, n-1; L(x₁, …, x_n) C₁;

3) для промежуточной области G_ПР:

C₀ < L(x₁, …, x_n) < C₁; k=1, …, n.

Точное определение С₀ и С₁ математически сложно. Однако, доказано, что:

Пример: Проверка простой гипотезы о параметрическом распределении:

- гипотеза Н₀: среднее значение нормальной случайной величины равно а₀;

- альтернативная гипотеза Н₁: среднее значение нормальной случайной величины а₁.

Тогда N(s, a₀) или N(s, a₁)?

Элементы х1, …, х_n – независимы.

Пусть имеем пока один порог С₁, с которым сравнивается L(x) или

LnL(x). Для нормального закона:

При фиксированном размере выборки имеем правило g₁:

а₁> a₀

Для критерия максимального правдоподобия:

Замечательное следствие: При заданном a=b из этой формулы находим необходимый размер выборки:

где Х²_a = argF(X).

В математической статистике Xa называют процентным отклонением случайной величины, т.е. такую абсциссу кривой распределения, которая характеризуется тем, что часть площади под этой кривой находящаяся правее Хa, равна Х.

т.е. P{x X_a} = a.

Для критерия Неймана – Пирсона на заданном уровне значимости a величина К определяется по формуле (а₁> а₀):

Еще одно следствие: Вероятности ошибок a и b в байесовском решении и вероятность ошибки 2-го рода для критерия Неймана – Пирсона зависят не от каждой из величин n, а₁, а₀, s в отдельности, а лишь от их единственной комбинации . Отсюда следует, что при уменьшении величины (в к раз, случай различения близких гипотез) для сохранения величин вероятности ошибок потребуется увеличение (в к² раз!) размера выборки n.

Если а₁< а₀, то решение g₁ по критерию Неймана - Пирсона принимается при условии, что:

Ситуация 2: Вид аналитической функции априори неизвестен, т.е. характер априорной неопределенности таков, что какие-либо сведения об аналитическом описании исходного материала полностью отсутствуют: неизвестно распределение вероятности наблюдаемых значений x_i, i=1, …, n, неизвестен вид платежной матрицы (функции потерь), неизвестны также плотности вероятности параметров f(a_x), влияющих на величину потерь, неизвестны и последствия от принятия того или иного решения (виды оценивания).

За ту крайность приходится расплачиваться довольно серьезными ограничениями, которые выражают иную форму представления имеющихся априорных значений, отличную от параметрических описаний.

Следствие: Таким образом, параметрическое и непараметрическое описания исходных данных задачи соответствуют разным видам имеющихся ограниченных априорных знаний и взаимно дополняют друг друга.