Частотный метод построения динамических моделей

В соответствии с этим методом параметры передаточной функции или коэффициенты дифференциального уравнения определяют исходя из экспериментально полученной амплитудно-фазовой характеристики исследуемой системы.

Амплитудно-фазовая характеристика линейной системы с сосредоточенными параметрами записывается в виде

(4.25)

где и - преобразованные по Фурье

соответственно входная x(t) и выходная y(t) переменные;

A(w) - амплитудно-частотная характеристика;

j(w) - фазо-частотная характеристика.

Амплитудно-частотная характеристика показывает степень усиления или ослабления системой гармонических колебаний, подаваемых на ее вход. Фазо-частотная характеристика отражает величину сдвига фаз между входными и выходными гармоническими колебаниями системы. При экспериментальном определении частотных характеристик искусственным путем возбуждаются гармонические колебания входной переменной x(t) с частотой w и регистрируются установившиеся колебания выходной величины Y(t). Измерения проводятся при различных значениях частоты w. Для нахождения A(w) измеряются амплитуды x(t) и y(t) и берется их отношение; для определения j(w) - временные сдвиги между гармониками входных и выходных колебаний.

Результаты эксперимента обрабатываются на ЭВМ с получением коэффициентов дифференциального уравнения, описывающего динамику исследуемой системы.

Частотные характеристики относятся к числу наиболее удобных описаний динамики технологических процессов. Для экспериментального снятия частотных характеристик существует достаточно совершенная аппаратура. Входной параметр процесса изменяют с заданной частотой и амплитудой. После затухания переходного процесса измеряют характеристики изменения выходного параметра: амплитуду колебаний A и фазовый сдвиг j между входной и выходной гармониками или вещественную Re и мнимую Im составляющие частотной характеристики.

Таким образом, экспериментальные частотные характеристики представляют собой совокупность точек, которые определяются тремя координатами:

в прямоугольной системе координат w, Re(w), Im(w)

в полярной системе координат w, А(w), j(w).

Предлагаемый метод [4] может быть использован для обработки экспериментальных частотных характеристик обоих видов.

Задаются m строк по 3 столбца. Вид координат определяет заданная переменная vid.

Описываемый метод позволяет производить идентификацию как объектов и систем с самовыравниванием, так и объектов с интегрирующими звеньями, количество которых не более двух. Таким образом, принята аппроксимация передаточной функции в виде

(2-14)

При этом n< =5, а int может принимать одно из трех значений: 0, 1 или 2. Это число задается среди исходных данных. Определение коэффициентов k и a _i осуществляется методом наименьших квадратов.

Рассмотрим инверсную передаточную функцию (предположив вначале, что int = 0)

(2-15)

где

Вычисление параметров в ₀,..., в _n представляет собой теперь линейную задачу оценки коэффициентов полинома. Определив в₀,..., в_n, легко можно найти

Подставляя в (2-15) вместо P=jw, выделяя в полученном выражении действительную и мнимую части и учитывая, что n< =5, запишем:

(2.16)

Из (2-16) можно получить два уравнения, приравнивая соответственно мнимые и действительные части.

(2.17)

Левые части уравнений могут быть найдены из экспериментальных данных. В правых частях в_i - искомые параметры, а w - экспериментальные величины.

Таким образом, вычислительная задача сводится к простейшему регрессивному анализу, на основании которого определяются коэффициенты в₀, в₂, в₄ из первой регрессии и в₁, в₃, в₅ из второй.

Запишем выражения для U(w) и V(w) через экспериментальные величины. Если vid=1, т.е. дана прямоугольная система координат, то

откуда

(2.18)

Если частотная характеристика задана в полярных координатах, т.е. vid=0, то

откуда

(2-19)

Это для случая int=0. Для других случаев приведем без вывода: vid=1 int=1

Уравнение регрессии (2-17) сходны между собой. Их можно записать в общем виде:

(2-24)

- определяется через экспериментальные значения w_i и неизвестные коэффициенты C_j.

Коэффициенты C_j по методу наименьших квадратов находятся минимизацией суммы квадратов отклонений:

где Z_i - экспериментальная величина.

Если в качестве Z_i используются значения Ui, то искомые коэффициенты соответствуют:

в₀ = С₁

в₂ = -С₂

в₄ = С₃ (2-26)

Если в качестве Zi используются значения V_i/w, то получаем:

в₁ = С₁

в₃ = -С₂

в₅ = С₂

Система нормальных уравнений для отыскания коэффициентов C_j имеет вид:

Подставляя сюда сумму квадратов отклонений (2-25) и учитывая уравнение регрессии (2-17), можно получить:

Здесь и далее в этом алгоритме

Если задан порядок аппроксимации n = 5, то для отыскания коэффициентов в₀,..., в₅ необходимо решить две системы нормальных уравнений вида (2-28), отличающихся столбцами правых частей. Положив Z_i = U_i и решая систему (2-28), находим С₁, С₂, С₃, а затем из (2-26) в₀, в₂, в₄. Положив затем Z_i = v_i/w и решая систему (2-28), находим C₁, С₂, С₃, а затем из (2-27) - в₁, в₃, в₅.

Если n = 4, то для коэффициентов в₀, в₂, в₄ решается система (2-28) при Z_i = U_i, а для отыскания в₁, в₃ нужно решить систему их двух линейных уравнений:

При этом Z_i = V_i/w_i. Коэффициенты в₁ и в₃ находятся через С₁ и С₂ согласно (2-27). Если n = 3, то решаются две системы из двух уравнений (2-29). Если n = 2, то решается одна система (2-29) и уравнение

где С₁ = в₁.

При n = 1 решаются два уравнения вида (2-30), из которых определяются:

(2-31)

4.4. Статистический метод построения