Аппроксимация переходной функции решением дифференциального уравнения для системы без запаздывания.

Графические методы построения динамических моделей.

Аппроксимация переходной функции решением дифференциального уравнения для системы без запаздывания.

При нанесении на вход объекта единичного скачкообразного возмущающего воздействия X(t)=1 получают график переходной функции Y(t) (рис. 5).

Передаточная функция объекта, представляющего собой, например, апериодическое звено I-го порядка, имеет вид:

W(P)=k/(T*P+1) (4.1.)

где T – постоянная времени объекта;

k=y() - коэффициент усиления;

y() - установившееся значение выходной величины.

Этой передаточной функции соответствует дифференциальное уравнение:

T* +y(t)=k*x(t) (4.2.)

решение которого может быть записано в виде

y(t)=k*x(t)*(1-e ) (4.3.)

Постоянная времени Т определяется из графика переходного процесса. Для этого надо провести касательную к кривой y(t) в начале координат; отрезок по оси времени от нуля до точки пересечения касательной и линии y=y() равен Т.

Постоянную времени Т можно определить также, учитывая, что y(T)=0.63*y(). Для этого по графику переходного процесса находят значение t=T, при котором y(t)=0.63*y().

Аппроксимация переходной функции решением дифференциального уравнения для системы с запаздыванием.

Аппроксимирующая передаточная функция для системы первого порядка с запаздыванием имеет вид:

W(P)= (4.4.)

а решение линейного дифференциального уравнения первого порядка с запаздыванием будет

y(t)=0; 0 (4.5.)

y(t)=k*x(t)*(1- ); t

где Т - постоянная времени;

- время запаздывания;

К - коэффициент усиления.

Интерполяционный метод определения параметров Т и заключается в следующем. На нормированной кривой переходного процесса, у которой по оси ординат откладывают величину y(T)/y(), выбирают две точки А и В (рис. 6.)

Желательно, чтобы точка А была расположена вблизи точки перегиба кривой, а ордината y(А) равнялась 0.8-0.9. Рассматривая точки А и В как интерполяционные узлы кривой, можно определить параметрами переходной функции:

(4.6.)

(4.7.)

Другой способ аппроксимации переходной функции, являющийся развитием метода Орманна, заключается в следующем. По нормированной кривой y(t) определяется время t ₇ являющееся корнем уравнения

k*x(t)*(1- )=0.7

и время t , удовлетворяющее равенству y(t )=0.33.

Далее вычисляются время запаздывания :

(4.8.)

и постоянная времени Т:

(4.9.)

Для проверки полученных результатов сравнивают ординаты заданной переходной функции при t , с соответствующими значениями ординат аппроксимирующей кривой: h₄ = 0, 33; h₈ = 0, 55 и h₂₀ = 0, 87

Аппроксимация переходной функции решением дифференциального уравнения второго порядка.

Передаточная функция для объекта второго порядка записывается в виде

(4.10)

Переходная функция объекта может быть аппроксимирована решением линейного дифференциального уравнения второго порядка:

(4.11)

Так как время чистого запаздывания t и коэффициент усиления K определяются известными приемами по переходной функции, то далее будем рассматривать только нахождение постоянных времени T ₁ и T ₂.

Один из способов определения связан с графическими построениями. Исходная переходная функция нормируется путем деления ординат на величину

y(t)=y^*(t)/y(T_уст) (4.12)

- нормированная функция;

- исходная функция;

Т_уст - время, при котором устанавливается постоянное значение .

На графике y(t) определяется точка перегиба w, через которую проводится касательная до пересечения с осью абсцисс и горизонтальной прямой y(T_уст)» K (рис. 7).

Точка перегиба кривой y(t) представляет собой точку, в которой производная dy(t)/dt имеет максимальное значение. Так как переходные функции реальных объектов часто не имеют явно выраженной точки перегиба, то определение ее координат можно осуществлять следующим образом.

В средней, наиболее быстро изменяющейся части графика y(t) берется несколько ординат y(t_g) = y_g g = 0, 1, 2,..., q; q обычно не более 6-7; t_g - t_g-1 = Dt=const и вычисляются первые разности g = 0, 1, 2,..., q-1. Далее находится максимальная величина Dy_g и соответствующее ей значение времени t_w= t_g - 0, 5*Dt, а затем ордината y_w.

Из графика y(t) непосредственно находятся значения T₁, T₂ и а. Затем из точки I пересечения касательной А с осью абсцисс восстанавливается перпендикуляр высотой g

(4.13)

Через точку 3 проводится прямая линия B, паралелльная касательной A, и находится время T_в. Предположив, что T₂ < T₁, вычисляют их значения из эмпирических соотношений

(4.14)

при a < = 0, 05

(4.15)

T₁= T ₀ - T_в при a > 0, 005