В случае сухого трения сила трения не зависит от площади соприкасающихся поверхностей тел

Динамика вращательного движения

Движение твердого тела (абсолютное твердое тело – совокупность материальных точек, не смещающихся друг относительно друга (т.е. не поддающееся деформации)), при котором две его точки А и В остаются неподвижными, называется ВРАЩЕНИЕМ (ИЛИ ВРАЩАТЕЛЬНЫМ ДВИЖЕНИЕМ) вокруг неподвижной оси.

Неподвижная прямая АВ называется осью вращения тела. При вращении вокруг неподвижной оси все точки тела описывают окружности, центры которых лежат на оси вращения, а плоскости перпендикулярны к ней, причем все точки тела имеют одинаковые угловые скорости, а при ускоренном движении – одинаковые угловые ускорения.

Для характеристики внешнего механического действия на тело, приводящего к изменению вращательного движения тела, вводят понятие момента силы.

МОМЕНТОМ СИЛЫ относительно неподвижной точки О называется физическая величина, определяемая векторным произведением радиуса-вектора r, проведенного из точки O в точку приложения силы, на силу F:

(1.30)

Модуль момента силы:

(1.31)

где – ПЛЕЧО СИЛЫ – длина перпендикуляра, проведенного из неподвижной точки (от неподвижной оси), на линию действия вектора .

Выражение (1.31) можно переписать в виде:

, (1.31¢)

Момент силы измеряется в [Н× м].

МОМЕНТ СИЛЫ ЯВЛЯЕТСЯ ВЕЛИЧИНОЙ ВЕКТОРНОЙ. перпендикулярен плоскости, построенной на векторах .

НАПРАВЛЕНИЕ вектора момента силы можно определить по правилу правого винта – при повороте винта по кратчайшему углу между векторами его поступательное движение укажет направление вектора .

Мерой инертности тел при поступательном движении является их масса. Инертность тел при вращательном движении зависит не только от массы, но и от ее распределении относительно оси вращения, поэтому при изучении вращения твердых тел пользуются понятием МОМЕНТА ИНЕРЦИИ.

Для материальной точки движущейся по окружности радиуса r с центром в точке О, МОМЕНТ ИНЕРЦИИ относительно точки О равен произведению массы материальной точки на квадрат расстояния до точки О

. (1.32)

Если система состоит из N материальных точек, то момент инерции системы относительно произвольно выбранной оси вращения равен

(1.32¢)

где m_i – масса i-ой точки, r_i – расстояние до выбранной оси от i - ой точки.

Момент инерции тела относительно произвольной оси, параллельной оси вращения проходящей через его центр масс, определяется теоремой Штейнера:

МОМЕНТ ИНЕРЦИИ тела 00 относительно произвольной оси 0¢ 0¢ равен сумме момента его инерции I₀ относительно параллельной оси, проходящей через центр масс C тела, и произведения массы m тела на квадрат расстояния a между осями: (1.33)

Причиной возникновения вращательного движения тел относительно неподвижной оси является отличный от нуля момент всех внешних сил. В этом случае тело начинает вращаться с угловым ускорением

, (1.34)

где – момент силы, I – момент инерции тела относительно оси вращения.

Выражение (1.34) представляет собой ОСНОВНОЙ ЗАКОН ДИНАМИКИ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ (или 2-ой закон Ньютона для вращательного дваижения): УГЛОВОЕ УСКОРЕНИЕ, приобретаемое телом под действием момента сил, прямо пропорционально величине этого момента и обратно пропорционально моменту инерции тела.

Формулу (1.34) можно переписать в виде

. (1.34¢)

Это уравнение называется ОСНОВНЫМ УРАВНЕНИЕМ динамики вращательного движения твердого тела.

Для характеристики вращательного движения вводится величина, которая носит название МОМЕНТА ИМПУЛЬСА.

МОМЕНТОМ ИМПУЛЬСА материальной точки относительно неподвижной точки О называется физическая величина, определяемая векторным произведением:

(1.35)

или

(1.35¢)

где l – плечо вектора импульса .

Единицей измерения L служит .

Момент импульса является векторной величиной,

Направление вектора определяется аналогичным образом, как и направление вектора .

МОМЕНТ ИМПУЛЬСА при вращении твердого тела относительно выбранной оси есть СУММА МОМЕНТОВ ИМПУЛЬСА отдельных частей тела и равна

(1.36)

где I – момент инерции тела относительно оси вращения.

При постоянстве момента инерции (I = Const), производная от момента импульса по времени имеет вид:

(1.37)

Выражение (1.37) – одна из форм уравнения динамики вращательного движения твердого тела.

Как видно из уравнения (1.37), если , то ,

откуда следует, что при этих условиях

. (1.38)

Соотношение (1.38) представляет собой ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА, который гласит: момент импульса системы остается величиной постоянной, если момент внешних сил, действующих на систему, равен нулю.

Т.к. , то величина будет иметь одинаковые значения для любых интересующих нас моментов времени, т. е.:

;

или . (1.38¢)

Вращающееся тело может изменить свой момент инерции, изменится и его угловая скорость, но при равенстве нулю суммарного момента внешних сил величина I_zω останется постоянной.

Пример - фигурист в " волчке", балерина и т.д. Этим законом также объясняется устойчивость: положения земной оси; продольной оси летящего артиллерийского снаряда; вертикальная устойчивость движущегося велосипедиста.